Номер 147, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 147, страница 34.

Условие 2023.

147. Точки $E$ и $F$ — соответственно середины сторон $BC$ и $CD$ ромба $ABCD$. Докажите, что $\angle EAC = \angle FAC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Чтобы доказать равенство углов $\angle EAC$ и $\angle FAC$, мы докажем равенство треугольников $\triangle AEC$ и $\triangle AFC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AEC$ и $\triangle AFC$.

1. По условию, $ABCD$ — это ромб. По определению ромба, все его стороны равны. В частности, $BC = CD$.

2. Точка $E$ — середина стороны $BC$, следовательно, длина отрезка $EC$ равна половине длины стороны $BC$: $EC = \frac{1}{2}BC$.

3. Точка $F$ — середина стороны $CD$, следовательно, длина отрезка $FC$ равна половине длины стороны $CD$: $FC = \frac{1}{2}CD$.

4. Так как $BC = CD$, то и половины этих сторон равны: $EC = FC$.

5. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников ($\triangle AEC$ и $\triangle AFC$).

6. Диагональ $AC$ в ромбе $ABCD$ является биссектрисой угла $\angle BCD$. Это означает, что она делит угол пополам: $\angle BCA = \angle DCA$. Эти же углы являются углами $\angle ECA$ и $\angle FCA$ в наших треугольниках. Следовательно, $\angle ECA = \angle FCA$.

Теперь у нас есть все элементы для сравнения треугольников $\triangle AEC$ и $\triangle AFC$:

• Сторона $EC$ равна стороне $FC$.
• Сторона $AC$ — общая.
• Угол $\angle ECA$ равен углу $\angle FCA$.

Таким образом, треугольники $\triangle AEC$ и $\triangle AFC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle EAC$ лежит против стороны $EC$, а угол $\angle FAC$ лежит против стороны $FC$. Поскольку $EC = FC$, то и углы $\angle EAC$ и $\angle FAC$ равны.

Следовательно, $\angle EAC = \angle FAC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle EAC$ и $\angle FAC$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle AEC$ и $\triangle AFC$.

Условие 2015-2022.

147. Точки $E$ и $F$ – соответственно середины сторон $BC$ и $CD$ ромба $ABCD$. Докажите, что $\angle EAC = \angle FAC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).