Номер 154, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 154, страница 35.

Условие 2023.

154. Постройте ромб:

1) по стороне и диагонали;

2) по высоте и диагонали.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по стороне и диагонали;

Пусть даны два отрезка: сторона ромба $a$ и диагональ $d$. Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Диагональ ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника. Сторонами этих треугольников являются стороны ромба, а основанием — данная диагональ. Таким образом, задача сводится к построению треугольника по трем сторонам ($a, a, d$) и последующему построению симметричного ему треугольника относительно общей стороны (диагонали).

Алгоритм построения:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложить на прямой от точки $A$ отрезок, равный длине диагонали $d$. Получим точку $C$. Отрезок $AC$ — диагональ будущего ромба.
3. Измерить циркулем длину стороны $a$.
4. Провести две дуги окружности с радиусом $a$: одну с центром в точке $A$, другую с центром в точке $C$.
5. Эти дуги пересекутся в двух точках по разные стороны от отрезка $AC$. Обозначим эти точки $B$ и $D$.
6. Последовательно соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом, так как по построению все его стороны равны $a$ ($AB=BC=CD=DA=a$), а одна из диагоналей равна $d$ ($AC=d$).
Примечание: Построение возможно, если выполняется неравенство треугольника для $\triangle ABC$: $a+a > d$, то есть $2a > d$. В противном случае дуги не пересекутся, и построить ромб будет невозможно.

Ответ: Построение выполнено согласно описанному алгоритму.

2) по высоте и диагонали.

Пусть даны два отрезка: высота ромба $h$ и диагональ $d$. Для построения ромба по этим данным нам сначала необходимо найти длину его стороны $a$.

Анализ и нахождение стороны: Пусть сторона ромба равна $a$. Площадь ромба $S$ можно вычислить двумя способами: как произведение стороны на высоту ($S = a \cdot h$) и как половину произведения диагоналей ($S = \frac{1}{2} d \cdot d_2$, где $d_2$ — вторая диагональ). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора: $a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$. Из формул для площади имеем $d_2 = \frac{2ah}{d}$. Подставим это выражение в теорему Пифагора:
$a^2 = \frac{d^2}{4} + (\frac{ah}{d})^2$
$a^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{a^2h^2}{d^2}$
$a^2(1 - \frac{h^2}{d^2}) = \frac{d^2}{4}$
$a^2 \frac{d^2-h^2}{d^2} = \frac{d^2}{4}$
$a^2 = \frac{d^4}{4(d^2-h^2)}$
$a = \frac{d^2}{2\sqrt{d^2-h^2}}$
Построение возможно, если подкоренное выражение положительно, то есть $d^2 - h^2 > 0$, что эквивалентно $d > h$. Таким образом, задача сводится к построению отрезка $a$ по данной формуле, а затем к построению ромба по стороне $a$ и диагонали $d$ (как в пункте 1).

Алгоритм построения:

1. Построение отрезка $x = \sqrt{d^2 - h^2}$.
   1. Построить прямой угол с вершиной в точке $P$.
   2. На одной стороне угла отложить отрезок $PK=h$.
   3. Из точки $K$ как из центра провести дугу окружности радиусом $d$. Она пересечет вторую сторону угла в точке $L$.
   4. Треугольник $PKL$ — прямоугольный. По теореме Пифагора, длина катета $PL$ равна $\sqrt{KL^2 - PK^2} = \sqrt{d^2 - h^2}$. Обозначим этот отрезок $x$.
2. Построение стороны $a = \frac{d^2}{2x}$ (построение четвертого пропорционального отрезка).
   1. Построить произвольный угол с вершиной в точке $O$.
   2. На одной стороне угла отложить отрезки $OM = 2x$ (дважды отложить отрезок $x$) и $ON = d$.
   3. На другой стороне угла отложить отрезок $OP = d$.
   4. Соединить точки $M$ и $P$.
   5. Провести через точку $N$ прямую, параллельную $MP$. Эта прямая пересечет вторую сторону угла в точке $Q$.
   6. Из подобия треугольников $\triangle OMP$ и $\triangle ONQ$ следует пропорция $\frac{OM}{ON} = \frac{OP}{OQ}$, то есть $\frac{2x}{d} = \frac{d}{OQ}$.
   7. Отсюда $OQ = \frac{d^2}{2x}$. Это и есть искомая сторона $a$.
3. Построение ромба по стороне $a$ и диагонали $d$.
   1. Теперь, когда у нас есть отрезки, равные стороне $a$ и диагонали $d$, выполняем построение, описанное в пункте 1.
   2. Провести отрезок $AC$ длиной $d$.
   3. Из точек $A$ и $C$ провести дуги окружностей радиусом $a$.
   4. Точки пересечения дуг $B$ и $D$ будут остальными вершинами ромба.
   5. Соединить точки $A, B, C, D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Ответ: Построение выполнено согласно описанному алгоритму.

Условие 2015-2022.

154. В треугольнике $ABC$ проведён серединный перпендикуляр его биссектрисы $BD$, который пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $BKDP$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).