Номер 151, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Ромб. Глава 1. Четырёхугольники - номер 151, страница 35.

Условие 2023.

151. На сторонах $AB$ и $AD$ ромба $ABCD$ отложены равные отрезки $AE$ и $AF$ соответственно. Докажите, что $\angle CEF = \angle CFE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства равенства углов $∠CEF$ и $∠CFE$ достаточно доказать, что треугольник $ΔCFE$ является равнобедренным с основанием $EF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Равенство сторон $CE$ и $CF$ можно доказать через равенство треугольников, в которые эти стороны входят.

Рассмотрим треугольники $ΔCAE$ и $ΔCAF$.

Сравним эти треугольники:

• $AE = AF$ по условию задачи.
• Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
• $∠CAE = ∠CAF$, так как в ромбе $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $∠BAD$.

Таким образом, треугольник $ΔCAE$ равен треугольнику $ΔCAF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $CE$ треугольника $ΔCAE$ соответствует стороне $CF$ треугольника $ΔCAF$, следовательно, $CE = CF$.

Теперь вернемся к треугольнику $ΔCFE$. Поскольку две его стороны равны ($CE = CF$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $∠CEF = ∠CFE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

151. На сторонах $AB$ и $AD$ ромба $ABCD$ отложены равные отрезки $AE$ и $AF$ соответственно. Докажите, что $\angle CEF = \angle CFE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).