Номер 3, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 3, страница 36.

Условие 2023.

3. Какими свойствами обладает квадрат?

Решение 6 (2023).

Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все стороны и углы равны. Он является частным случаем прямоугольника и ромба, поэтому обладает всеми свойствами этих фигур, а также свойствами параллелограмма. Основные свойства квадрата можно сгруппировать следующим образом:

Свойства сторон и углов

Все четыре стороны квадрата равны по длине. Если сторона квадрата равна $a$, то $AB = BC = CD = DA = a$. Противоположные стороны квадрата попарно параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel DA$). Все четыре внутренних угла квадрата являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.
Ответ: Все стороны равны, все углы прямые, противоположные стороны параллельны.

Свойства диагоналей

Диагонали квадрата равны между собой, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов, деля каждый угол на два по $45^\circ$. Длина диагонали $d$ связана с длиной стороны $a$ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Ответ: Диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения и являются биссектрисами углов.

Свойства симметрии

Квадрат является высокосимметричной фигурой. Он имеет четыре оси симметрии: две из них проходят через середины противолежащих сторон, а две другие совпадают с диагоналями. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии. Квадрат также обладает вращательной симметрией 4-го порядка: он совпадает сам с собой при повороте вокруг центра на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$.
Ответ: Четыре оси симметрии, центр симметрии и вращательная симметрия 4-го порядка.

Свойства, связанные с окружностями

Вокруг любого квадрата можно описать окружность, и в любой квадрат можно вписать окружность. Центры этих двух окружностей совпадают и находятся в точке пересечения диагоналей квадрата. Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Радиус вписанной окружности $r$ равен половине стороны: $r = \frac{a}{2}$.
Ответ: Существование единственных вписанной и описанной окружностей с общим центром.

Условие 2015-2022.

3. Какими свойствами обладает квадрат?