Номер 166, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 166, страница 37.

Условие 2023.

166. Докажите, что если две соседние стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определениями и свойствами прямоугольника и квадрата.

Дано:
$ABCD$ — прямоугольник.
$AB$ и $BC$ — соседние стороны прямоугольника.
$AB = BC$.

Доказать:
$ABCD$ — квадрат.

Доказательство:
1. По определению, прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Следовательно, в четырехугольнике $ABCD$ все углы равны $90^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

2. Одним из ключевых свойств прямоугольника является равенство его противоположных сторон. Для прямоугольника $ABCD$ это означает:

• $AB = CD$
• $BC = AD$

3. По условию задачи нам дано, что две соседние стороны равны: $AB = BC$.

4. Теперь объединим все известные нам равенства. Из того, что $AB = BC$ (по условию), и $BC = AD$ (свойство прямоугольника), следует, что $AB = AD$. Также, используя $AB=CD$ (свойство прямоугольника), мы можем составить единую цепочку равенств: $AB = BC = CD = AD$.

5. Таким образом, мы установили, что четырехугольник $ABCD$ обладает следующими свойствами:

• Все его стороны равны ($AB = BC = CD = AD$).
• Все его углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).

6. Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, по определению является квадратом. Следовательно, прямоугольник $ABCD$ является квадратом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как у прямоугольника противоположные стороны равны, а по условию равны и соседние, то все четыре стороны этого прямоугольника равны между собой. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Условие 2015-2022.

166. Докажите, что если две соседние стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).