Номер 169, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 169, страница 37.

Условие 2023.

169. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$ так, что $AK = 2BK$.

Найдите $\angle KAD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$, а длина отрезка $BK$ равна $x$.

По условию задачи, точка $K$ лежит на стороне $BC$ и $AK = 2BK$. Следовательно, $AK = 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Угол $\angle B$ является прямым, так как $ABCD$ — квадрат. Стороны этого треугольника: катет $AB = a$, катет $BK = x$ и гипотенуза $AK = 2x$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABK$: $AB^2 + BK^2 = AK^2$.

Подставив известные значения, получим: $a^2 + x^2 = (2x)^2$

$a^2 + x^2 = 4x^2$

$a^2 = 3x^2$

Теперь найдем величину угла $\angle KAB$ в том же треугольнике $ABK$, используя тригонометрические соотношения. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle KAB) = \frac{BK}{AK} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

Так как $\angle KAB$ — острый угол прямоугольного треугольника, то из $\sin(\angle KAB) = \frac{1}{2}$ следует, что $\angle KAB = 30^\circ$.

Угол $\angle DAB$ квадрата $ABCD$ равен $90^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $\angle KAD$ и $\angle KAB$.

$\angle KAD + \angle KAB = \angle DAB$

Следовательно, мы можем найти искомый угол $\angle KAD$:

$\angle KAD = \angle DAB - \angle KAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Условие 2015-2022.

169. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$ так, что $AK = 2BK$. Найдите $\angle KAD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).