Номер 176, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 176, страница 38.

Условие 2023.

176. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан параллелограмм ABCD, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O. Согласно условию задачи, диагонали равны ($AC = BD$) и перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Докажем, что данный параллелограмм является прямоугольником, используя свойство равенства диагоналей. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. В них сторона AD — общая, стороны AB и DC равны как противолежащие стороны параллелограмма, а диагонали BD и AC равны по условию. Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle DCA$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle CDA$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то есть $\angle BAD + \angle CDA = 180^\circ$. Поскольку эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Теперь докажем, что данный параллелограмм является ромбом, используя свойство перпендикулярности диагоналей. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = OC$. Сторона BO у этих треугольников общая. По условию диагонали перпендикулярны, значит, $\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AOB \cong \triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Отсюда следует, что стороны $AB$ и $BC$ равны. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то равенство смежных сторон $AB = BC$ означает, что все стороны параллелограмма равны: $AB = BC = CD = DA$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Мы установили, что данный параллелограмм является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны). Четырехугольник, который является и прямоугольником, и ромбом, по определению является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано: параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями является квадратом.

Условие 2015-2022.

176. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).