Номер 179, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 179, страница 38.

Условие 2023.

179. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. По условию, прямоугольник не является квадратом, значит $a \neq b$. Пусть, для определенности, $a > b$.

Проведем биссектрисы всех четырех углов прямоугольника. Обозначим точки их пересечения, образующие внутренний четырехугольник, как M, N, P, K:

• M — точка пересечения биссектрис углов A и B.
• N — точка пересечения биссектрис углов B и C.
• P — точка пересечения биссектрис углов C и D.
• K — точка пересечения биссектрис углов D и A.

Докажем, что получившийся четырехугольник KMNP является квадратом. Доказательство разобьем на два этапа: сначала докажем, что KMNP — прямоугольник, а затем — что у него равны все стороны.

1. Доказательство того, что KMNP — прямоугольник

Все углы прямоугольника ABCD равны $90^\circ$. Биссектриса делит каждый угол на два угла по $45^\circ$.

Рассмотрим треугольник ABM, образованный стороной AB и биссектрисами AM и BM. Углы при основании этого треугольника $\angle MAB = \angle MBA = 45^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то угол $\angle AMB = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.

Аналогично, рассмотрев треугольники BCN, CDP и DAK, находим, что углы в них при вершинах N, P, K также прямые:

• В $\triangle BCN$: $\angle BNC = 180^\circ - (\angle NBC + \angle NCB) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.
• В $\triangle CDP$: $\angle CPD = 180^\circ - (\angle PCD + \angle PDC) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.
• В $\triangle DAK$: $\angle DKA = 180^\circ - (\angle KDA + \angle KAD) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.

Углы четырехугольника KMNP совпадают с найденными углами $\angle DKA$, $\angle AMB$, $\angle BNC$, $\angle CPD$. Таким образом, все четыре угла четырехугольника KMNP равны $90^\circ$. Следовательно, KMNP — прямоугольник.

2. Доказательство равенства сторон прямоугольника KMNP

Теперь докажем, что все стороны полученного прямоугольника равны. Для этого найдем их длины.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $\triangle DAK$ ($\angle KDA = \angle KAD = 45^\circ$). Длина катета AK может быть найдена через гипотенузу AD = b: $AK = AD \cdot \cos(45^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ ($\angle MAB = \angle MBA = 45^\circ$). Длина катета AM может быть найдена через гипотенузу AB = a: $AM = AB \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Точки K и M лежат на одной прямой — биссектрисе угла A. Длина стороны KM четырехугольника KMNP равна разности длин отрезков AM и AK. Так как мы предположили, что $a > b$, то $AM > AK$.$KM = AM - AK = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Аналогично найдем длину стороны MN. Точки M и N лежат на биссектрисе угла B.Из $\triangle ABM$ имеем $BM = AM = \frac{a}{\sqrt{2}}$.Из $\triangle BCN$ имеем $BN = BC \cdot \cos(45^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{\sqrt{2}}$.$MN = BM - BN = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Проводя такие же рассуждения для сторон NP и PK, получим:$NP = CP - CN = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.$PK = DP - DK = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.

Таким образом, все стороны четырехугольника равны: $KM = MN = NP = PK = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$.Поскольку KMNP — это прямоугольник с равными сторонами, он является квадратом.

Условие, что прямоугольник не является квадратом ($a \neq b$), гарантирует, что длина стороны полученного квадрата $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$ больше нуля, то есть фигура не вырождается в точку.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

179. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).