Номер 173, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 173, страница 38.

Условие 2023.

173. Точки $M$, $K$, $N$, $P$ являются соответственно серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $MKNP$ – квадрат.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данный квадрат. Обозначим длину его стороны как $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. По условию, точки $M, K, N, P$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Это означает, что $AM = MB = BK = KC = CN = ND = DP = PA = \frac{a}{2}$. Для доказательства того, что четырёхугольник $MKNP$ является квадратом, нам нужно установить, что все его стороны равны и все его углы прямые. Это можно сделать в несколько шагов.

1. Докажем, что все стороны четырёхугольника $MKNP$ равны.
Рассмотрим четыре треугольника, образовавшихся в углах квадрата: $\Delta AM P$, $\Delta MBK$, $\Delta KCN$ и $\Delta NDP$. Все эти треугольники являются прямоугольными, так как углы $A, B, C, D$ квадрата $ABCD$ прямые. Рассмотрим эти треугольники:

• В $\Delta AM P$: катеты $AM = \frac{a}{2}$ и $AP = \frac{a}{2}$.
• В $\Delta MBK$: катеты $MB = \frac{a}{2}$ и $BK = \frac{a}{2}$.
• В $\Delta KCN$: катеты $KC = \frac{a}{2}$ и $CN = \frac{a}{2}$.
• В $\Delta NDP$: катеты $ND = \frac{a}{2}$ и $DP = \frac{a}{2}$.

Все четыре треугольника равны между собой по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы также равны: $PM = MK = KN = NP$. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Таким образом, $MKNP$ — ромб.

2. Докажем, что у ромба $MKNP$ есть прямой угол.
Для этого воспользуемся свойствами диагоналей исходного квадрата $ABCD$ и свойством средней линии треугольника.

В треугольнике $ABD$ отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $MP$ является средней линией $\Delta ABD$. По свойству средней линии, $MP$ параллельна диагонали $BD$ ($MP \parallel BD$).

В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $MK$ является средней линией $\Delta ABC$. По свойству средней линии, $MK$ параллельна диагонали $AC$ ($MK \parallel AC$).

Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны друг другу, то есть $AC \perp BD$.

Так как $MP \parallel BD$, $MK \parallel AC$ и $AC \perp BD$, то прямые $MP$ и $MK$ также перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle KMP = 90^\circ$.

Вывод
Мы доказали, что $MKNP$ — это ромб (все стороны равны) и что у него есть хотя бы один прямой угол ($\angle KMP = 90^\circ$). Ромб с прямым углом является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать, четырёхугольник $MKNP$ является квадратом.

Условие 2015-2022.

173. Точки $M$, $K$, $N$, $P$ являются соответственно серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $MKNP$ – квадрат.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).