Номер 171, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 171, страница 38.

Условие 2023.

171. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — исходный квадрат. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Из свойств квадрата мы знаем, что его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. То есть:

• $AC = BD$
• $AC \perp BD$ (угол между ними равен $90^\circ$)
• $AO = OC = BO = OD$

По условию задачи, через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям:

• Через вершины $A$ и $C$ проведены прямые $k$ и $m$, параллельные диагонали $BD$. ($k \parallel BD$, $m \parallel BD$, следовательно $k \parallel m$).
• Через вершины $B$ и $D$ проведены прямые $l$ и $n$, параллельные диагонали $AC$. ($l \parallel AC$, $n \parallel AC$, следовательно $l \parallel n$).

Эти прямые, пересекаясь, образуют новую фигуру. Обозначим точки их пересечения $K, L, M, P$:

• $K$ — точка пересечения прямых, проходящих через $A$ и $D$.
• $L$ — точка пересечения прямых, проходящих через $A$ и $B$.
• $M$ — точка пересечения прямых, проходящих через $B$ и $C$.
• $P$ — точка пересечения прямых, проходящих через $C$ и $D$.

Нам нужно доказать, что четырехугольник $KLMP$ является квадратом. Доказательство проведем в два этапа.

1. Докажем, что $KLMP$ — прямоугольник.

По построению, противоположные стороны четырехугольника $KLMP$ попарно параллельны. Стороны $KL$ и $PM$ лежат на прямых, параллельных диагонали $BD$, значит $KL \parallel PM$. Стороны $LM$ и $KP$ лежат на прямых, параллельных диагонали $AC$, значит $LM \parallel KP$. Следовательно, четырехугольник $KLMP$ по определению является параллелограммом.

Найдем угол между смежными сторонами, например, $\angle K L M$. Этот угол образован прямыми $k$ (проходящей через $A$) и $l$ (проходящей через $B$). По построению, $k \parallel BD$ и $l \parallel AC$. Угол между пересекающимися прямыми $k$ и $l$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$, которым они параллельны. Поскольку диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны ($AC \perp BD$), то и прямые $k$ и $l$ перпендикулярны. Таким образом, $\angle K L M = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольником. Следовательно, $KLMP$ — прямоугольник.

2. Докажем, что смежные стороны прямоугольника $KLMP$ равны.

Рассмотрим четырехугольник $ALBO$. В нем:

• Сторона $AL$ лежит на прямой, параллельной $BD$, значит $AL \parallel BO$.
• Сторона $BL$ лежит на прямой, параллельной $AC$, значит $BL \parallel AO$.

Следовательно, $ALBO$ — параллелограмм. Так как $\angle AOB = 90^\circ$ (угол между диагоналями), то $ALBO$ — прямоугольник. Более того, его смежные стороны $AO$ и $BO$ равны как половины диагоналей квадрата. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом. Значит, $ALBO$ — квадрат. Отсюда следует, что $AL = AO = BO = BL$.

Аналогично рассмотрим четырехугольники $BMCO$, $CPDO$ и $DKAO$. Все они являются квадратами.

• Из квадрата $BMCO$ следует: $BM = BO = CO = CM$.
• Из квадрата $CPDO$ следует: $CP = CO = DO = DP$.
• Из квадрата $DKAO$ следует: $DK = DO = AO = AK$.

Теперь найдем длины сторон прямоугольника $KLMP$.

• Сторона $KL$ состоит из отрезков $KA$ и $AL$. Точки $K, A, L$ лежат на одной прямой $k$. Длина $KL = KA + AL$. Из доказанного выше $KA = AO$ и $AL = BO$. Тогда $KL = AO + BO$.
• Сторона $LM$ состоит из отрезков $LB$ и $BM$. Точки $L, B, M$ лежат на одной прямой $l$. Длина $LM = LB + BM$. Из доказанного выше $LB = AO$ и $BM = CO$. Тогда $LM = AO + CO = AC$.

Мы получили, что длина стороны $LM$ равна диагонали $AC$ исходного квадрата.

Вернемся к стороне $KL$. Так как $AO=OC=BO=OD$, то $KL = AO + BO = OC + OD$. Рассмотрим сторону $KP$, которая состоит из отрезков $KA$ и $AP$. Стоп, вернемся к $KL$. $KL = KA + AL = DO + OB = DB$. Длина стороны $KL$ равна диагонали $DB$ исходного квадрата.

Итак, мы получили, что длины смежных сторон прямоугольника $KLMP$ равны $KL = DB$ и $LM = AC$. Поскольку в исходном квадрате $ABCD$ диагонали равны ($AC = DB$), то и смежные стороны полученного прямоугольника равны: $KL = LM$.

Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.

Таким образом, фигура, образованная точками пересечения построенных прямых, является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точки пересечения данных прямых являются вершинами квадрата, так как образуют четырехугольник, который является прямоугольником (его стороны параллельны перпендикулярным диагоналям исходного квадрата) с равными смежными сторонами (длина каждой стороны равна длине диагонали исходного квадрата).

Условие 2015-2022.

171. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).