Номер 175, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 175, страница 38.

Условие 2023.

175. В квадрате $ABCD$ отметили точку $M$ так, что треугольник $AMB$ – равносторонний. Докажите, что треугольник $CMD$ – равнобедренный.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию, $ABCD$ — квадрат, а треугольник $AMB$ — равносторонний. Нам нужно доказать, что треугольник $CMD$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAM$ и $\triangle CBM$.

1. Так как $ABCD$ — квадрат, то все его стороны равны, в частности $AD = BC$.

2. Так как треугольник $AMB$ — равносторонний, то все его стороны равны, в частности $AM = BM$.

3. Найдем углы $\angle DAM$ и $\angle CBM$. Углы квадрата равны $90^\circ$, поэтому $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle ABC = 90^\circ$. Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, поэтому $\angle MAB = 60^\circ$ и $\angle MBA = 60^\circ$.

Угол $\angle DAM$ можно найти как разность углов $\angle DAB$ и $\angle MAB$: $\angle DAM = \angle DAB - \angle MAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Аналогично, угол $\angle CBM$ можно найти как разность углов $\angle ABC$ и $\angle MBA$: $\angle CBM = \angle ABC - \angle MBA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Следовательно, $\angle DAM = \angle CBM$.

Таким образом, мы имеем два треугольника $\triangle DAM$ и $\triangle CBM$, в которых:
- $AD = BC$ (стороны квадрата),
- $AM = BM$ (стороны равностороннего треугольника),
- $\angle DAM = \angle CBM$ (угол между этими сторонами).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle DAM$ равен треугольнику $\triangle CBM$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $DM$ в $\triangle DAM$ соответствует стороне $CM$ в $\triangle CBM$. Значит, $DM = CM$.

Поскольку в треугольнике $CMD$ две стороны равны ($DM = CM$), он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $CMD$ является равнобедренным, так как доказано, что его стороны $CM$ и $DM$ равны.

Условие 2015-2022.

175. В квадрате ABCD отметили точку M так, что треугольник AMB – равносторонний. Докажите, что треугольник CMD – равнобедренный.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).