Номер 186, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 186, страница 39.

Условие 2023.

186. На рисунке 54 $AB \parallel CD$, $AB = AE$, $CD = CE$. Докажите, что $BE \perp DE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:

$AB \parallel CD$
$AB = AE$
$CD = CE$

Доказать:

$BE \perp DE$

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABE$. По условию $AB = AE$, следовательно, $\triangle ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABE = \angle AEB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180^\circ$. Заменив $\angle ABE$ на $\angle AEB$, получим: $\angle BAE + 2\angle AEB = 180^\circ$. Выразим отсюда угол $\angle AEB$:

$2\angle AEB = 180^\circ - \angle BAE$

$\angle AEB = \frac{180^\circ - \angle BAE}{2} = 90^\circ - \frac{\angle BAE}{2}$.

2. Рассмотрим $\triangle CDE$. По условию $CD = CE$, следовательно, $\triangle CDE$ является равнобедренным с основанием $DE$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle CDE = \angle CED$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle DCE + \angle CDE + \angle CED = 180^\circ$. Заменив $\angle CDE$ на $\angle CED$, получим: $\angle DCE + 2\angle CED = 180^\circ$. Выразим отсюда угол $\angle CED$:

$2\angle CED = 180^\circ - \angle DCE$

$\angle CED = \frac{180^\circ - \angle DCE}{2} = 90^\circ - \frac{\angle DCE}{2}$.

3. По условию прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Прямая, проходящая через точки $A$, $C$, $E$ (как это обычно изображается на рисунках к таким задачам), является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BAE$ и $\angle DCE$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Таким образом:

$\angle BAE + \angle DCE = 180^\circ$.

4. Угол $\angle BED$ состоит из двух смежных углов $\angle AEB$ и $\angle CED$. Его величина равна их сумме:

$\angle BED = \angle AEB + \angle CED$.

Подставим в это равенство выражения для углов, которые мы нашли в пунктах 1 и 2:

$\angle BED = \left(90^\circ - \frac{\angle BAE}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\angle DCE}{2}\right)$

$\angle BED = 180^\circ - \left(\frac{\angle BAE}{2} + \frac{\angle DCE}{2}\right)$

$\angle BED = 180^\circ - \frac{\angle BAE + \angle DCE}{2}$.

5. Теперь воспользуемся свойством параллельных прямых из пункта 3, подставив $\angle BAE + \angle DCE = 180^\circ$ в полученное выражение:

$\angle BED = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку угол $\angle BED$ равен $90^\circ$, это по определению означает, что прямые $BE$ и $DE$ перпендикулярны друг другу ($BE \perp DE$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $BE$ и $DE$ перпендикулярны.

Условие 2015-2022.

186. На рисунке 54 $AB \parallel CD$, $AB = AE$, $CD = CE$. Докажите, что $BE \perp DE$.

Рис. 54

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).