Номер 187, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Квадрат. Глава 1. Четырёхугольники - номер 187, страница 39.

Условие 2023.

187. На рисунке 55 $EF \parallel AD$, $BF = KF$, $CF = DF$. Докажите, что $EF \parallel BC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник BDKC. По условию, точка F является серединой отрезка CD ($CF=DF$) и серединой отрезка BK ($BF=KF$). Это означает, что диагонали четырехугольника BDKC (отрезки BK и CD) пересекаются в точке F и делятся этой точкой пополам.

2. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, BDKC является параллелограммом.

3. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона BC параллельна стороне DK.

$BC \parallel DK$

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию, F — середина стороны CD. Также дано, что прямая EF параллельна стороне AD ($EF \parallel AD$). Точка E лежит на стороне AC (как правило, это следует из рисунка в таких задачах).

5. По теореме Фалеса (или по свойству, обратному свойству средней линии треугольника), если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то эта прямая пересечет третью сторону в ее середине. В нашем случае, прямая EF проходит через середину стороны CD (точку F) и параллельна стороне AD. Следовательно, эта прямая пересекает сторону AC в ее середине, то есть точка E является серединой стороны AC.

6. Теперь у нас есть следующие факты:

• $EF \parallel AD$ (по условию)
• $BC \parallel DK$ (доказано в п. 3)

7. Чтобы доказать, что $EF \parallel BC$, нам нужно установить связь между параллельными парами. Из указанных выше параллельностей следует, что если мы докажем, что прямые AD и DK параллельны, то по свойству транзитивности мы сможем заключить, что $EF \parallel BC$.

8. Прямые AD и DK имеют общую точку D. Если они параллельны, то они должны совпадать, а это означает, что точки A, D, и K лежат на одной прямой.

9. Из условий задачи и геометрического построения (которое обычно подразумевается на рисунке 55) следует, что точки A, D, K действительно лежат на одной прямой. Таким образом, прямая AD и прямая DK — это одна и та же прямая.

10. Раз прямая AD совпадает с прямой DK, то $AD \parallel DK$.

11. Теперь мы можем выстроить логическую цепочку параллельностей:

$EF \parallel AD$ (дано)

$AD \parallel DK$ (т.к. A, D, K лежат на одной прямой)

$DK \parallel BC$ (доказано)

12. Из этой цепочки, по свойству транзитивности параллельных прямых, следует, что $EF \parallel BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

187. На рисунке 55 $EF \parallel AD, BF = KF, CF = DF$. Докажите, что $EF \parallel BC$.

Рис. 55

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).