Номер 2, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 2, страница 41.

Условие 2023.

2. Сколько средних линий можно провести в треугольнике?

Решение 6 (2023).

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

У любого треугольника есть ровно три стороны. Чтобы провести среднюю линию, необходимо выбрать две стороны и соединить их серединные точки.

Рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Мы можем составить три уникальные пары сторон:
1. Пара сторон $a$ и $b$. Соединив их середины, мы получим первую среднюю линию.
2. Пара сторон $b$ и $c$. Соединив их середины, мы получим вторую среднюю линию.
3. Пара сторон $c$ и $a$. Соединив их середины, мы получим третью среднюю линию.

Других комбинаций из двух сторон составить невозможно. Следовательно, в треугольнике можно провести ровно три средние линии.

Это также можно подтвердить с помощью формулы сочетаний из комбинаторики, которая определяет, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов. В нашем случае $n=3$ (количество сторон) и $k=2$ (количество сторон, необходимых для построения одной средней линии):
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Таким образом, в треугольнике можно провести 3 средние линии.

Ответ: 3.

Условие 2015-2022.

2. Сколько средних линий можно провести в треугольнике?