Номер 199, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 199, страница 42.

Условие 2023.

199. Докажите, что высота $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон $AB$ и $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AM$ — его высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению высоты, отрезок $AM$ перпендикулярен стороне $BC$, что записывается как $AM \perp BC$.

Пусть $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, соединяющей стороны $AB$ и $AC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, средняя линия $DE$ параллельна стороне $BC$, то есть $DE \parallel BC$.

Таким образом, мы имеем прямую $AM$, которая перпендикулярна прямой $BC$, и прямую $DE$, которая параллельна прямой $BC$.

Воспользуемся известной аксиомой из планиметрии: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.

Поскольку $AM \perp BC$ и $DE \parallel BC$, из этого следует, что $AM \perp DE$.

Это и доказывает, что высота $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон $AB$ и $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

199. Докажите, что высота $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон $AB$ и $AC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).