Номер 196, страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 196, страница 41.

Условие 2023.

196. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда отрезки $MN$, $NP$ и $PM$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Эти средние линии разбивают треугольник $ABC$ на четыре меньших треугольника: $\triangle AMP$, $\triangle MBN$, $\triangle PNC$ и центральный $\triangle MNP$. Нам необходимо доказать, что все эти четыре треугольника равны.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим четырехугольник $APNM$.

• Средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$, а значит, и отрезку $AP$ ($MN \parallel AP$).
• Средняя линия $NP$ параллельна стороне $AB$, а значит, и отрезку $AM$ ($NP \parallel AM$).

Поскольку у четырехугольника $APNM$ противолежащие стороны попарно параллельны, то $APNM$ — параллелограмм. Отрезок $MP$ является диагональю этого параллелограмма, которая делит его на два равных треугольника. Следовательно, $\triangle AMP \cong \triangle NMP$.

2. Рассмотрим четырехугольник $MBNP$.

• Средняя линия $NP$ параллельна стороне $AB$, а значит, и отрезку $MB$ ($NP \parallel MB$).
• Средняя линия $MP$ (соединяющая середины $AС$ и $AB$) параллельна стороне $BC$, а значит, и отрезку $BN$ ($MP \parallel BN$).

Поскольку у четырехугольника $MBNP$ противолежащие стороны попарно параллельны, то $MBNP$ — параллелограмм. Отрезок $MN$ является диагональю этого параллелограмма. Следовательно, $\triangle MBN \cong \triangle NPM$.

3. Рассмотрим четырехугольник $MNCP$.

• Средняя линия $MN$ параллельна стороне $AC$, а значит, и отрезку $PC$ ($MN \parallel PC$).
• Средняя линия $MP$ параллельна стороне $BC$, а значит, и отрезку $NC$ ($MP \parallel NC$).

Поскольку у четырехугольника $MNCP$ противолежащие стороны попарно параллельны, то $MNCP$ — параллелограмм. Отрезок $NP$ является диагональю этого параллелограмма. Следовательно, $\triangle PNC \cong \triangle MNP$.

Таким образом, мы доказали, что каждый из трех "угловых" треугольников ($\triangle AMP$, $\triangle MBN$, $\triangle PNC$) равен центральному треугольнику $\triangle MNP$ (треугольники $\triangle NMP$ и $\triangle NPM$ равны $\triangle MNP$, так как это тот же треугольник). Из этого следует, что все четыре треугольника равны между собой: $$ \triangle AMP \cong \triangle MBN \cong \triangle PNC \cong \triangle MNP $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что три средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника. Это следует из того, что средние линии образуют с частями сторон исходного треугольника три параллелограмма ($APNM$, $MBNP$ и $MNCP$). Каждый из трех "внешних" треугольников является половиной соответствующего параллелограмма, как и центральный треугольник, что доказывает их равенство.

Условие 2015-2022.

196. Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).