Номер 202, страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Средняя линия треугольника. Глава 1. Четырёхугольники - номер 202, страница 42.

Условие 2023.

202. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Обозначим его диагонали как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. По условию задачи, сумма длин диагоналей равна 28 см:

$AC + BD = 28$ см.

Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырёхугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Нам необходимо найти его периметр $P_{KLMN}$.

Периметр четырёхугольника $KLMN$ равен сумме длин его сторон:

$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$.

Для нахождения длин сторон этого четырёхугольника воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $KL$ — средняя линия треугольника $ABC$. Отсюда следует, что $KL = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$, значит $MN$ — средняя линия треугольника $ADC$. Отсюда $MN = \frac{1}{2} AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $LM$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, поэтому $LM$ — средняя линия треугольника $BCD$. Следовательно, $LM = \frac{1}{2} BD$.

И, наконец, в треугольнике $ABD$ отрезок $NK$ соединяет середины сторон $DA$ и $AB$, поэтому $NK$ — средняя линия треугольника $ABD$. Следовательно, $NK = \frac{1}{2} BD$.

Теперь мы можем вычислить периметр четырёхугольника $KLMN$:

$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$.

Сгруппируем слагаемые:

$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$.

Мы получили, что периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника, равен сумме длин диагоналей данного четырёхугольника. Этот факт известен как теорема Вариньона.

Используя данные из условия задачи:

$P_{KLMN} = AC + BD = 28$ см.

Ответ: 28 см.

Условие 2015-2022.

202. Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).