Номер 7, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 7, страница 46.

Условие 2023.

7. Сформулируйте теорему о свойствах средней линии трапеции.

Решение 6 (2023).

Теорема о свойствах средней линии трапеции утверждает, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

Дано:
$ABCD$ — трапеция,
$AD \parallel BC$ — основания,
$AB, CD$ — боковые стороны,
$MN$ — средняя линия, где $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$.

Доказать:
1) $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.
2) $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:
Проведем диагональ $AC$, которая пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$.

1. Доказательство параллельности.
Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой $CD$, отрезок $MN$ является средней линией трапеции. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную основанию $BC$ (а значит, и $AD$). По теореме Фалеса, эта прямая, проходящая через середину одной боковой стороны трапеции ($AB$) и параллельная основаниям, пересечет вторую боковую сторону ($CD$) также в ее середине. То есть эта прямая пройдет через точку $N$. Следовательно, отрезок $MN$ лежит на этой прямой, и $MN \parallel BC \parallel AD$.

2. Нахождение длины.
Теперь, когда доказано, что средняя линия параллельна основаниям, рассмотрим два треугольника, образованных диагональю $AC$.

В $\triangle ABC$:
$M$ — середина $AB$ (по условию).
$MK \parallel BC$ (так как $MN \parallel BC$).
Следовательно, по теореме о средней линии треугольника, $MK$ является средней линией $\triangle ABC$. Из этого следует, что $MK = \frac{1}{2}BC$.

В $\triangle ADC$:
$N$ — середина $CD$ (по условию).
$KN \parallel AD$ (так как $MN \parallel AD$).
Следовательно, по теореме о средней линии треугольника, $KN$ является средней линией $\triangle ADC$. Из этого следует, что $KN = \frac{1}{2}AD$.

Длина средней линии трапеции $MN$ равна сумме длин отрезков $MK$ и $KN$:
$MN = MK + KN$
Подставляем полученные выражения для длин отрезков:
$MN = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD = \frac{BC+AD}{2}$.
Теорема доказана.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме. Если $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $m$ — длина средней линии, то $m = \frac{a+b}{2}$.

Условие 2015-2022.

7. Что называют средней линией трапеции?