Номер 219, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 219, страница 47.

Условие 2023.

219. Является ли четырёхугольник $ABCD$, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного ответа укажите основания и боковые стороны трапеции.

Рис. 74

а б в

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

а

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами.
Чтобы определить, является ли четырёхугольник трапецией, нужно проверить наличие пары параллельных сторон. Две прямые параллельны, если сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении этих прямых третьей прямой (секущей), равна $180^\circ$.
В четырёхугольнике ABCD на рисунке а углы $\angle A$ и $\angle B$ прямые, то есть $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.
Рассмотрим стороны AD и BC как две прямые, а сторону AB как секущую. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами. Их сумма равна: $\angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Поскольку сумма этих углов равна $180^\circ$, стороны AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$).
Стороны AB и CD, судя по рисунку, не параллельны. Таким образом, у четырёхугольника есть одна пара параллельных сторон, следовательно, он является трапецией.
Основания: BC и AD.
Боковые стороны: AB и CD.
Ответ: Да, является трапецией. Основаниями являются стороны BC и AD, а боковыми сторонами — AB и CD.

б

В четырёхугольнике ABCD на рисунке б даны три угла: $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.
Сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Найдём четвёртый угол $\angle C$:
$\angle C = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle D) = 360^\circ - (70^\circ + 105^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 235^\circ = 125^\circ$.
Теперь проверим стороны на параллельность, используя признак параллельности прямых (сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$).
1. Проверим параллельность сторон BC и AD. При секущей AB: $\angle A + \angle B = 70^\circ + 105^\circ = 175^\circ$. Так как $175^\circ \neq 180^\circ$, то $BC$ не параллельно $AD$. При секущей CD: $\angle C + \angle D = 125^\circ + 60^\circ = 185^\circ$. Так как $185^\circ \neq 180^\circ$, то $BC$ не параллельно $AD$.
2. Проверим параллельность сторон AB и DC. При секущей AD: $\angle A + \angle D = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ$. Так как $130^\circ \neq 180^\circ$, то $AB$ не параллельно $DC$.
Поскольку у четырёхугольника ABCD нет параллельных сторон, он не является трапецией.
Ответ: Нет, не является.

в

На рисунке в изображён четырёхугольник ABCD. Также показана прямая EK, которая перпендикулярна стороне AD в точке K и стороне BC в точке F. Это означает, что прямые AD и BC перпендикулярны одной и той же прямой EK.
Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Поскольку $AD \perp EK$ и $BC \perp EK$, то $AD \parallel BC$.
Так как у четырёхугольника ABCD есть пара параллельных сторон (AD и BC), он является трапецией.
Основания: BC и AD.
Боковые стороны: AB и CD.
Ответ: Да, является трапецией. Основаниями являются стороны BC и AD, а боковыми сторонами — AB и CD.

Условие 2015-2022.

219. Является ли четырёхугольник $ABCD$, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного ответа укажите основания и боковые стороны трапеции.

Рис. 74

а

Четырёхугольник $ABCD$ с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$.

б

Четырёхугольник $ABCD$ с углами: $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.

в

Четырёхугольник $ABCD$, в котором отрезки $EF$ и $EK$ проведены таким образом, что $EF \perp BC$ и $EK \perp AD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).