Номер 216, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 216, страница 46.

Условие 2023.

216. Начертите по клеткам тетради трапецию:

1) равнобокую;

2) прямоугольную;

3) не являющуюся ни прямоугольной, ни равнобокой;

4) у которой один из углов при основании острый, а другой угол при этом же основании — тупой.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения трапеций по клеткам мы будем использовать тот факт, что линии сетки в тетради являются параллельными и перпендикулярными друг другу. Основания трапеции удобно располагать на горизонтальных линиях сетки.

1) равнобокую;

Равнобокая (или равнобедренная) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Следствием этого является равенство углов при каждом из оснований.

Чтобы начертить равнобокую трапецию по клеткам, нужно расположить верхнее основание симметрично относительно нижнего. Выполним следующие шаги:

1. Начертите на горизонтальной линии сетки нижнее основание AD. Например, пусть его длина будет 6 клеток.
2. Найдите середину основания AD. Отступите от нее вверх на определенное расстояние (высоту), например, на 4 клетки. Это будет середина верхнего основания.
3. От этой серединной точки отложите влево и вправо одинаковое расстояние для построения верхнего основания BC. Например, по 1 клетке в каждую сторону. Тогда длина BC будет равна 2 клеткам.
4. Соедините точки A с B и D с C.

В результате получится трапеция ABCD. Она является равнобокой, так как боковые стороны AB и CD симметричны. Их проекции на горизонтальную ось равны $(6-2)/2 = 2$ клетки, а высота у обеих сторон одинакова и равна 4 клеткам. По теореме Пифагора их длины равны: $AB = CD = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ клеток.

Ответ: Начертите нижнее основание AD длиной 6 клеток, затем начертите верхнее основание BC длиной 2 клетки на высоте 4 клеток так, чтобы оно было симметрично относительно AD. Соедините концы оснований, чтобы получить боковые стороны.

2) прямоугольную;

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У такой трапеции есть два прямых угла.

Начертить прямоугольную трапецию по клеткам очень просто:

1. Начертите нижнее основание AD вдоль горизонтальной линии сетки. Например, длиной 5 клеток.
2. Из точки A проведите вертикальный отрезок AB вверх по линии сетки. Это будет боковая сторона, перпендикулярная основанию. Пусть ее длина будет 3 клетки. Угол DAB будет прямым ($90^\circ$).
3. Из точки B проведите горизонтальный отрезок BC вправо, параллельно AD. Это будет верхнее основание. Например, длиной 2 клетки. Угол ABC также будет прямым.
4. Соедините точки C и D.

Полученная фигура ABCD является прямоугольной трапецией с основаниями AD и BC и прямыми углами при вершинах A и B.

Ответ: Начертите отрезок AD длиной 5 клеток. Из точки A проведите перпендикулярный ему отрезок AB длиной 3 клетки. Из точки B проведите отрезок BC длиной 2 клетки, параллельный AD. Соедините точки C и D.

3) не являющуюся ни прямоугольной, ни равнобокой;

Такая трапеция (ее также называют разносторонней или скаленовой) — это трапеция, у которой боковые стороны имеют разную длину, и ни один из углов не является прямым.

Для построения такой трапеции нужно нарушить симметрию, характерную для равнобокой трапеции, и избежать прямых углов.

1. Начертите нижнее основание AD, например, длиной 7 клеток.
2. Начертите верхнее основание BC, параллельное нижнему, на некоторой высоте (например, 4 клетки), но расположите его несимметрично. Пусть его длина будет 3 клетки.
3. Например, от точки A отступите 1 клетку вправо и 4 клетки вверх, чтобы получить точку B.
4. От точки B отложите вправо 3 клетки, чтобы получить точку C.
5. Соедините A с B и D с C.

Проверим получившуюся трапецию ABCD. Длина боковой стороны $AB = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ клеток. Проекция стороны CD на горизонталь равна $7-1-3=3$ клетки. Длина боковой стороны $CD = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5$ клеток. Так как $AB \neq CD$, трапеция не является равнобокой. Прямых углов нет, так как ни одна боковая сторона не вертикальна. Значит, трапеция не является прямоугольной.

Ответ: Начертите нижнее основание AD длиной 7 клеток. На высоте 4 клетки от него начертите верхнее основание BC длиной 3 клетки, сместив его так, чтобы левый конец B находился на 1 клетку правее вертикали из A. Соедините вершины.

4) у которой один из углов при основании острый, а другой угол при этом же основании — тупой.

В большинстве трапеций (равнобоких и многих разносторонних) оба угла при большем основании являются острыми. Чтобы получить трапецию с одним острым и одним тупым углом при одном основании, нужно, чтобы одно основание было "сдвинуто" относительно другого так, чтобы проекция одной боковой стороны на прямую, содержащую основание, выходила за его пределы.

1. Начертите нижнее основание AD, например, длиной 3 клетки.
2. На высоте, например, 3 клетки, начертите верхнее основание BC. Расположите его так, чтобы оно начиналось над основанием AD, а заканчивалось за его пределами.
3. Например, пусть точка B будет на 1 клетку правее и 3 клетки выше точки A.
4. Пусть верхнее основание BC имеет длину 4 клетки. Тогда точка C будет на 4 клетки правее точки B.
5. Соедините A с B и D с C.

Рассмотрим углы при основании AD в полученной трапеции ABCD. Угол DAB — острый, так как боковая сторона AB наклонена "внутрь". Угол ADC — тупой. Это видно, так как боковая сторона CD наклонена "наружу" от основания. Если провести из точки C перпендикуляр к прямой AD, он упадет за пределы отрезка AD, что и делает угол ADC тупым (больше $90^\circ$).

Ответ: Начертите нижнее основание AD длиной 3 клетки. На высоте 3 клетки постройте верхнее основание BC длиной 4 клетки так, чтобы точка B находилась над отрезком AD (например, на 1 клетку правее A), а точка C — правее точки D. Соедините вершины.

Условие 2015-2022.

216. Начертите по клеткам тетради трапецию:

1) равнобокую;

2) прямоугольную;

3) не являющуюся ни прямоугольной, ни равнобокой;

4) у которой один из углов при основании острый, а другой – тупой.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).