Номер 8, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 8, страница 46.

Условие 2023.

8. Сформулируйте свойства равнобокой трапеции.

Решение 6 (2023).

Равнобокая (или равнобедренная) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD || BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ ($AB = CD$). Основные свойства такой трапеции:

1. Углы при основаниях

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. То есть, углы при большем основании равны между собой, и углы при меньшем основании также равны между собой.
$ \angle A = \angle D $
$ \angle B = \angle C $
Как и в любой трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$ pioneering:
$ \angle A + \angle B = 180^\circ $
$ \angle C + \angle D = 180^\circ $

Ответ: Углы при каждом основании равнобокой трапеции попарно равны.

2. Диагонали

Диагонали равнобокой трапеции равны по длине.
$ AC = BD $
Кроме того, диагонали образуют равные углы с одним и тем же основанием. Например, $ \angle CAD = \angle BDA $.

Ответ: Диагонали равнобокой трапеции равны.

3. Точка пересечения диагоналей

Если $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ равнобокой трапеции, то отрезки диагоналей, прилегающие к основаниям, попарно равны:
$ AO = OD $
$ BO = OC $
Из этого следует, что треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle BOC $, образованные отрезками диагоналей и основаниями, являются равнобедренными.

Ответ: Точка пересечения диагоналей делит их на попарно равные отрезки, прилежащие к основаниям.

4. Ось симметрии

Равнобокая трапеция является осесимметричной фигурой. Осью симметрии служит прямая, проходящая через середины её оснований. Эта прямая перпендикулярна основаниям.

Ответ: Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии равнобокой трапеции.

5. Описанная окружность

Вокруг равнобокой трапеции всегда можно описать окружность. Это свойство вытекает из того, что сумма её противолежащих углов равна $180^\circ$ pioneering:
$ \angle A + \angle C = \angle A + (180^\circ - \angle D) = \angle A + (180^\circ - \angle A) = 180^\circ $
$ \angle B + \angle D = 180^\circ $
Это является необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был вписанным в окружность.

Ответ: Около равнобокой трапеции можно описать окружность.

6. Высоты, опущенные на большее основание

Если из вершин меньшего основания $B$ и $C$ опустить на большее основание $AD$ высоты $BH$ и $CK$, то они отсекут от трапеции два равных прямоугольных треугольника ($ \triangle ABH = \triangle DCK $). Отрезки, на которые высоты делят большее основание, можно вычислить по формулам:
$ AH = KD = \frac{AD - BC}{2} $ (полуразность оснований)
Также отрезок $ HD = AD - AH = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2} $ (полусумма оснований, т.е. длина средней линии).

Ответ: Высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки, длина каждого из которых равна полуразности оснований.

Условие 2015-2022.

8. Сформулируйте теорему о свойствах средней линии трапеции.