Номер 6, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 9. Центральные и вписанные углы. Глава 1. Четырёхугольники - номер 6, страница 56.

Условие 2023.

6. Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги, на которую этот угол опирается?

Решение 6 (2023).

Связь между градусной мерой центрального угла окружности и дуги, на которую он опирается, является прямой и устанавливается по определению.

Для начала дадим определения ключевым понятиям.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны являются радиусами, пересекающими окружность в двух точках.

Дуга окружности — это часть окружности, заключенная между двумя точками на ней.

По определению, принятому в геометрии, градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. Пусть $A$ и $B$ — две точки на этой окружности. Угол, образованный радиусами $OA$ и $OB$, то есть угол $\angle AOB$, является центральным. Этот угол опирается на дугу $AB$ (обозначается как $\cup AB$).

Таким образом, их градусные меры связаны следующим равенством: $$ \text{Градусная мера } \cup AB = \angle AOB $$

Это означает, что если величина центрального угла составляет $\alpha$ градусов, то и величина дуги, на которую он опирается, также составляет $\alpha$ градусов.

Примеры для иллюстрации:

• Если центральный угол $\angle AOB = 45^\circ$, то и градусная мера дуги $\cup AB$ равна $45^\circ$.
• Если центральный угол прямой, т.е. $\angle AOB = 90^\circ$, то он опирается на дугу, градусная мера которой также равна $90^\circ$. Такая дуга составляет четверть полной окружности ($360^\circ$).
• Если центральный угол развернутый, т.е. $\angle AOB = 180^\circ$, то он опирается на дугу, градусная мера которой равна $180^\circ$. Такая дуга называется полуокружностью.

Ответ: Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Условие 2015-2022.

6. Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги, на которую этот угол опирается?