Номер 277, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 277, страница 52.

Условие 2023.

277. Многоугольник разбит диагоналями на треугольники, которые окрашены в чёрный и белый цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Докажите, что количество чёрных треугольников не больше утроенного количества белых треугольников.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $N_B$ — количество чёрных треугольников, а $N_W$ — количество белых треугольников. Нам нужно доказать, что $N_B \le 3N_W$.

Рассмотрим общее количество сторон всех белых треугольников. У каждого белого треугольника 3 стороны, так что общее число сторон (с учётом того, что некоторые стороны могут принадлежать нескольким треугольникам, но мы их считаем для каждого треугольника) равно $3N_W$.

Стороны треугольников в разбиении могут быть двух типов:
1. Внутренние стороны — это диагонали, которыми разбит многоугольник. Каждая такая сторона является общей для двух треугольников. Согласно условию задачи, эти два треугольника должны быть разного цвета. Следовательно, каждая внутренняя сторона является границей между чёрным и белым треугольником.
2. Граничные стороны — это стороны исходного многоугольника. Каждая такая сторона принадлежит только одному треугольнику из разбиения.

Обозначим через $S_I$ общее количество внутренних сторон (диагоналей). Обозначим через $n_{wb}$ количество граничных сторон, которые принадлежат белым треугольникам.

Сумма всех сторон белых треугольников складывается из их внутренних сторон и их граничных сторон. Каждая из $S_I$ внутренних сторон является стороной ровно одного белого треугольника. Таким образом, общее число сторон белых треугольников можно выразить формулой:
$3N_W = S_I + n_{wb}$

Теперь рассмотрим чёрные треугольники. Так как многоугольник «разбит диагоналями», это означает, что у него больше трёх вершин, и в разбиении есть хотя бы одна диагональ. Любой треугольник в таком разбиении может иметь не более двух сторон, лежащих на границе исходного многоугольника. Если бы все три стороны треугольника были граничными, то исходный многоугольник сам был бы этим треугольником, что противоречит условию.
Следовательно, каждый треугольник в разбиении (включая все чёрные) имеет хотя бы одну внутреннюю сторону.

Общее число внутренних сторон $S_I$ можно также посчитать, суммируя внутренние стороны по всем чёрным треугольникам. Поскольку каждый из $N_B$ чёрных треугольников имеет как минимум одну внутреннюю сторону, а каждая внутренняя сторона граничит ровно с одним чёрным треугольником, то общее число внутренних сторон $S_I$ не меньше, чем число чёрных треугольников:
$S_I \ge N_B$

Теперь объединим полученные результаты. Из уравнения для белых треугольников мы имеем $S_I = 3N_W - n_{wb}$. Подставим в это выражение неравенство $S_I \ge N_B$:
$3N_W - n_{wb} \ge N_B$

Это можно переписать как $3N_W \ge N_B + n_{wb}$.
Поскольку $n_{wb}$ — это количество сторон, то это число не может быть отрицательным, то есть $n_{wb} \ge 0$.
Следовательно, $N_B + n_{wb} \ge N_B$.
Из этого следует окончательное неравенство:
$3N_W \ge N_B$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Количество чёрных треугольников не больше утроенного количества белых треугольников.

Условие 2015-2022.

277. Многоугольник разбит диагоналями на треугольники, которые окрашены в чёрный и белый цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Докажите, что количество чёрных треугольников не больше утроенного количества белых треугольников.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).