Номер 271, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 271, страница 51.

Условие 2023.

271. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, которая не имеет с параллелограммом других общих точек. Вершины $A$ и $C$ удалены от этой прямой на расстояния $a$ и $b$ соответственно. Найдите расстояние от точки $D$ до этой прямой.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямая $l$, проходящая через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$. Опустим перпендикуляры из вершин $A$, $C$ и $D$ на прямую $l$. Обозначим их основания как $A_1$, $C_1$ и $D_1$ соответственно. По условию, расстояния от $A$ и $C$ до прямой $l$ равны $a$ и $b$, то есть $AA_1 = a$ и $CC_1 = b$. Требуется найти расстояние от точки $D$ до прямой $l$, то есть длину перпендикуляра $DD_1$.

Рассмотрим решение задачи с использованием метода координат. Расположим систему координат так, чтобы прямая $l$ совпала с осью абсцисс ($Ox$), а точка $B$ — с началом координат. Таким образом, $B$ имеет координаты $(0, 0)$.

Поскольку прямая $l$ не имеет с параллелограммом других общих точек, кроме $B$, все остальные вершины ($A$, $C$ и $D$) лежат по одну сторону от этой прямой. Будем считать, что они находятся в верхней полуплоскости, тогда их $y$-координаты будут положительны.

Расстояние от точки до оси $Ox$ равно модулю ее $y$-координаты. Следовательно, мы можем записать координаты вершин:

• $A(x_A, a)$
• $B(0, 0)$
• $C(x_C, b)$
• $D(x_D, y_D)$, где $y_D$ — искомое расстояние.

Одним из ключевых свойств параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Найдем $y$-координату точки $O$ двумя способами.

1. Как середина диагонали $AC$:$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{a + b}{2}$

2. Как середина диагонали $BD$:$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{0 + y_D}{2} = \frac{y_D}{2}$

Поскольку это одна и та же точка, ее $y$-координаты должны быть равны:$\frac{a + b}{2} = \frac{y_D}{2}$

Умножив обе части уравнения на 2, получаем:$y_D = a + b$

Таким образом, расстояние от точки $D$ до данной прямой равно $a + b$.

Ответ: $a+b$

Условие 2015-2022.

271. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, которая не имеет с параллелограммом других общих точек. Вершины $A$ и $C$ удалены от этой прямой на расстояния $a$ и $b$ соответственно.

Найдите расстояние от точки $D$ до этой прямой.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).