Номер 269, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 269, страница 51.

Условие 2023.

269. Постройте трапецию:

1) по основаниям и боковым сторонам;

2) по основанию, высоте и диагоналям;

3) по разности оснований, боковым сторонам и одной из диагоналей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по основаниям и боковым сторонам

Пусть даны четыре отрезка, задающие длины оснований $a$ и $b$ (для определенности, $a > b$) и боковых сторон $c$ и $d$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$, $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=c$, $CD=d$.
Анализ:
Применим метод параллельного переноса. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную стороне $CD$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $K$. Четырехугольник $BCDK$ является параллелограммом, так как $BC \parallel KD$ (по свойству оснований трапеции) и $BK \parallel CD$ (по построению). Следовательно, $BK = CD = d$ и $KD = BC = b$.
Рассмотрим треугольник $ABK$. Его стороны известны: $AB = c$, $BK = d$, и $AK = AD - KD = a - b$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABK$ по трем сторонам, а затем достроить его до искомой трапеции.
Построение:
1. На произвольной прямой $m$ отложим отрезок $AK$, равный разности оснований $a-b$.
2. Построим треугольник $ABK$ по трем сторонам: $AK = a-b$, $AB = c$, $BK = d$. Для этого проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$, и окружность с центром в точке $K$ и радиусом $d$. Точка $B$ — одна из точек пересечения этих окружностей. (Построение возможно, если выполняется неравенство треугольника: $|c-d| < a-b < c+d$).
3. На луче $AK$ от точки $K$ отложим отрезок $KD$, равный $b$. Получим вершину $D$ и основание $AD = AK + KD = (a-b) + b = a$.
4. Через точку $B$ проведем прямую $l$, параллельную прямой $AD$.
5. Через точку $D$ проведем прямую, параллельную отрезку $BK$. Точка пересечения этой прямой с прямой $l$ будет вершиной $C$.
6. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$.
Доказательство:
По построению $BC \parallel AD$, значит, $ABCD$ — трапеция. Основание $AD = a$. Из параллелограмма $BCDK$ следует, что $BC=KD=b$. Сторона $AB=c$ по построению. Сторона $CD = BK = d$ из того же параллелограмма. Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: Трапеция построена.

2) по основанию, высоте и диагоналям

Пусть даны отрезки, задающие длину одного основания $a$, высоту $h$ и длины диагоналей $d_1$ и $d_2$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с основанием $AD = a$, высотой $h$, диагоналями $AC = d_1$ и $BD = d_2$.
Анализ:
Пусть $AD$ — данное основание. Второе основание $BC$ лежит на прямой, параллельной $AD$ и находящейся на расстоянии $h$ от нее. Пусть $G$ и $H$ — проекции вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$ соответственно. Тогда $BG=h$ и $CH=h$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BGD$ и $\triangle AHC$. В $\triangle BGD$ известны гипотенуза $BD=d_2$ и катет $BG=h$. Следовательно, мы можем найти (и построить) второй катет $DG = \sqrt{d_2^2 - h^2}$. В $\triangle AHC$ известны гипотенуза $AC=d_1$ и катет $CH=h$. Отсюда мы можем построить катет $AH = \sqrt{d_1^2 - h^2}$.
Зная расположение точек $G$ и $H$ на прямой $AD$, мы можем найти вершины $B$ и $C$.
Построение:
1. Построим отрезки $l_1 = \sqrt{d_1^2 - h^2}$ и $l_2 = \sqrt{d_2^2 - h^2}$. Для этого строим два прямоугольных треугольника: один с гипотенузой $d_1$ и катетом $h$, второй — с гипотенузой $d_2$ и катетом $h$. Вторые катеты этих треугольников будут иметь длины $l_1$ и $l_2$ соответственно. (Построение возможно, если $d_1 \ge h$ и $d_2 \ge h$).
2. На произвольной прямой $m$ отложим отрезок $AD$ длиной $a$.
3. Построим прямую $l$, параллельную $m$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее.
4. На прямой $m$ от точки $A$ отложим отрезок $AH$ длиной $l_1$ (например, в сторону точки $D$). В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $m$. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $l$ будет вершиной $C$.
5. На прямой $m$ от точки $D$ отложим отрезок $DG$ длиной $l_2$ в сторону точки $A$. В точке $G$ восстановим перпендикуляр к прямой $m$. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $l$ будет вершиной $B$.
6. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$.
Доказательство:
По построению, $BC \parallel AD$ и расстояние между ними равно $h$. Значит, $ABCD$ — трапеция с высотой $h$. Основание $AD = a$. Из $\triangle AHC$ имеем $AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{l_1^2 + h^2} = \sqrt{(d_1^2 - h^2) + h^2} = d_1$. Из $\triangle BGD$ имеем $BD = \sqrt{BG^2 + GD^2} = \sqrt{h^2 + l_2^2} = \sqrt{h^2 + (d_2^2 - h^2)} = d_2$. Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: Трапеция построена.

3) по разности оснований, боковым сторонам и одной из диагоналей

Пусть даны отрезки, задающие разность оснований $s = a-b$, длины боковых сторон $c$ и $d$, и длину одной из диагоналей, например, $d_2$, соединяющей вершину при стороне $c$ с вершиной при стороне $d$. Требуется построить трапецию $ABCD$ с $AB=c$, $CD=d$, $AD-BC=s$, $BD=d_2$.
Анализ:
Применим метод параллельного переноса. Перенесем сторону $CD$ параллельно самой себе так, чтобы точка $C$ перешла в точку $B$. Пусть точка $D$ при этом перейдет в точку $K$. Четырехугольник $BCDK$ будет параллелограммом, поскольку $BC \parallel KD$ и $BK \parallel CD$. Из этого следует, что $BK = CD = d$ и $BC = KD$.
Поскольку $BC \parallel AD$, точка $K$ будет лежать на прямой $AD$. Рассмотрим отрезок $AK$. Его длина равна $AK = AD - KD = AD - BC = a - b = s$.
Таким образом, мы получаем треугольник $ABK$, все стороны которого нам известны: $AB=c$, $BK=d$, $AK=s$. После построения этого треугольника мы можем найти остальные вершины трапеции. Вершина $D$ лежит на луче $AK$, и ее положение определяется длиной диагонали $BD=d_2$.
Построение:
1. Построим треугольник $ABK$ по трем сторонам: $AK=s$, $AB=c$, $BK=d$. (Построение возможно, если для отрезков $s, c, d$ выполняется неравенство треугольника).
2. Проведем луч $AK$.
3. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $d_2$. Точка пересечения этой окружности с лучом $AK$ будет вершиной $D$. (Для существования решения необходимо, чтобы окружность пересекала луч. Выбираем ту точку $D$, для которой $K$ лежит между $A$ и $D$).
4. Теперь у нас есть вершины $A, B, D$ и вспомогательная точка $K$. Для нахождения вершины $C$ построим параллелограмм $BCDK$. Для этого проведем через точку $B$ прямую, параллельную $AD$, а через точку $D$ — прямую, параллельную $BK$. Их пересечение даст точку $C$.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$.
Доказательство:
По построению, $BC \parallel AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция. Сторона $AB = c$ и диагональ $BD = d_2$ по построению. Из параллелограмма $BCDK$ следует, что $CD = BK = d$. Разность оснований $AD - BC = AD - KD = AK = s$. Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: Трапеция построена.

Условие 2015-2022.

3) по разности оснований, боковым сторонам и диагонали.

269. Постройте равнобокую трапецию по основанию, высоте и боковой стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).