Номер 262, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 262, страница 50.

Условие 2023.

262. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

262.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и, по условию, перпендикулярны друг другу ($AC \perp BD$).

В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$). Рассмотрим треугольники ▵ABD и ▵DCA. У них сторона AD — общая, боковые стороны равны AB = DC, и диагонали равны BD = AC. Следовательно, ▵ABD ≅ ▵DCA по трём сторонам.

Из равенства этих треугольников следует равенство углов: ∠BDA = ∠CAD. Это означает, что треугольник ▵AOD, образованный пересечением диагоналей, является равнобедренным с основанием AD, откуда AO = DO. Поскольку AC = BD, то и отрезки CO = AC - AO и BO = BD - DO также равны. Значит, треугольник ▵BOC тоже является равнобедренным с основанием BC.

Так как по условию диагонали перпендикулярны, то углы ∠AOD и ∠BOC прямые (∠AOD = ∠BOC = 90°). Таким образом, ▵AOD и ▵BOC — это прямоугольные равнобедренные треугольники.

Проведём высоту трапеции HK через точку пересечения диагоналей O так, что точка H лежит на основании BC, а точка K — на основании AD. Высота трапеции $h = HK = OH + OK$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ▵BOC отрезок OH является высотой, проведённой к гипотенузе BC. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой. По свойству медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, её длина равна половине гипотенузы. Следовательно, $OH = \frac{BC}{2}$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике ▵AOD, OK — это высота и медиана к гипотенузе AD, поэтому $OK = \frac{AD}{2}$.

Теперь можем найти высоту трапеции h:
$h = HK = OH + OK = \frac{BC}{2} + \frac{AD}{2} = \frac{BC + AD}{2}$.

Средняя линия трапеции m по определению равна полусумме её оснований:
$m = \frac{BC + AD}{2}$.

Сравнивая выражения для высоты h и средней линии m, мы приходим к выводу, что $h = m$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

262. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).