Номер 258, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 258, страница 50.

Условие 2023.

258. Основания равнобокой трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 68 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, и боковыми сторонами AB и CD. По условию, трапеция равнобокая, следовательно, её боковые стороны равны: $AB = CD$. Обозначим длину боковой стороны как $c$.

Основания трапеции относятся как $2 : 5$. Пусть меньшее основание $BC = 2x$, а большее основание $AD = 5x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Диагональ AC делит тупой угол BCD пополам. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC. Следовательно, эти углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Из двух полученных равенств углов ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$) следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как два его угла равны ($\angle ACD = \angle CAD$), то этот треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, равны: $CD = AD$.

Мы знаем, что $CD = c$ (боковая сторона) и $AD = 5x$ (большее основание). Таким образом, мы получаем важное соотношение: $c = 5x$. Это означает, что боковая сторона трапеции равна её большему основанию.

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон: $P = AB + BC + CD + AD$.Подставим известные нам выражения для сторон:$P = c + 2x + c + 5x = 2c + 7x$.

По условию задачи, периметр равен 68 см. Теперь мы можем составить уравнение, подставив в формулу периметра соотношение $c = 5x$:$68 = 2(5x) + 7x$$68 = 10x + 7x$$68 = 17x$$x = 68 / 17$$x = 4$

Теперь, зная значение $x$, найдём длины всех сторон трапеции:

• Меньшее основание: $BC = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.
• Большее основание: $AD = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
• Боковые стороны: $AB = CD = c = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Проверим: периметр $P = 8 + 20 + 20 + 20 = 68$ см. Условие выполняется.

Ответ: стороны трапеции равны 8 см, 20 см, 20 см, 20 см.

Условие 2015-2022.

258. Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и диагонали.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).