Номер 261, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 261, страница 50.

Условие 2023.

261. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.

По условию задачи, диагональ перпендикулярна боковой стороне. Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что $∠ACD = 90°$.

Также по условию, меньшее основание равно боковой стороне, то есть $BC = CD$. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Следовательно, мы имеем равенство трех сторон: $AB = BC = CD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠BAC = ∠BCA$.

Прямые $AD$ и $BC$ параллельны как основания трапеции, а $AC$ — секущая. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими, поэтому они равны: $∠BCA = ∠CAD$.

Из двух предыдущих пунктов следует, что $∠BAC = ∠BCA = ∠CAD$. Обозначим величину этих углов через $α$:
$∠BAC = ∠BCA = ∠CAD = α$.

Теперь выразим углы трапеции через $α$.
Угол при большем основании $∠A$ (или $∠BAD$) равен сумме углов $∠BAC$ и $∠CAD$:
$∠A = ∠BAC + ∠CAD = α + α = 2α$.

Так как трапеция равнобокая, углы при основаниях равны: $∠D = ∠A = 2α$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Сумма его углов равна $180°$:
$∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°$.

Подставим известные нам значения углов, выраженные через $α$ и заданные в условии:
$α + 2α + 90° = 180°$
$3α = 180° - 90°$
$3α = 90°$
$α = 30°$

Теперь, зная $α$, мы можем найти углы трапеции.Углы при большем основании:
$∠A = ∠D = 2α = 2 \cdot 30° = 60°$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180°$. Поэтому углы при меньшем основании равны:
$∠B = ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°$.

Проверим угол $∠C$ другим способом: $∠C = ∠BCA + ∠ACD = α + 90° = 30° + 90° = 120°$. Результаты совпадают.

Ответ: углы трапеции равны $60°$, $120°$, $120°$ и $60°$.

Условие 2015-2022.

261. Средняя линия трапеции ABCD разбивает её на две трапеции, средние линии которых равны 15 см и 19 см. Найдите основания трапеции ABCD.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).