Номер 259, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 259, страница 50.

Условие 2023.

259. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $AD = 24$ см, $\angle ADB = \angle CDB$, а периметр равен $60$ см. Найдите неизвестные стороны трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — данная трапеция. По условию она равнобедренная, так как её боковые стороны равны: $AB = CD$. Известно, что основание $AD = 24$ см, а периметр трапеции равен $60$ см. Также дано, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, что означает $\angle ADB = \angle CDB$.

По определению трапеции, её основания параллельны. В трапеции $ABCD$ основаниями являются $BC$ и $AD$, следовательно, $BC \parallel AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $BD$. Углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ являются внутренними накрест лежащими, поэтому они равны:

$\angle CBD = \angle ADB$.

По условию задачи мы также знаем, что $\angle ADB = \angle CDB$.

Сопоставляя эти два равенства, мы можем заключить, что:

$\angle CBD = \angle CDB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Так как два его угла ($\angle CBD$ и $\angle CDB$) равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Отсюда следует, что:

$BC = CD$.

Из условия задачи известно, что трапеция равнобедренная, то есть $AB = CD$. Объединяя это с полученным выше результатом, мы приходим к выводу, что три стороны трапеции равны между собой:

$AB = BC = CD$.

Обозначим длину каждой из этих равных сторон через $x$.

Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон:

$P = AB + BC + CD + AD$.

Подставим известные значения и переменную $x$ в формулу периметра:

$60 = x + x + x + 24$

$60 = 3x + 24$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$3x = 60 - 24$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$ см.

Таким образом, мы нашли длины неизвестных сторон трапеции. Все они равны 12 см.

Ответ: $AB = 12$ см, $BC = 12$ см, $CD = 12$ см.

Условие 2015-2022.

259. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, большее основание – 10 см. Найдите среднюю линию трапеции, если один из её углов равен $60^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).