Номер 255, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 255, страница 50.

Условие 2023.

255. Диагональ равнобокой трапеции равна 14 см и образует с основанием угол $60^{\circ}$. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, диагональ AC равна 14 см, а угол между этой диагональю и большим основанием AD составляет 60°, то есть $\angle CAD = 60^\circ$.

Средняя линия трапеции, обозначим её $m$, находится по формуле как полусумма её оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Для нахождения суммы оснований выполним дополнительное построение. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник BCED. В нём стороны BC и DE параллельны (так как они лежат на параллельных прямых, содержащих основания трапеции), а стороны BD и CE параллельны по построению. Следовательно, BCED — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны: $DE = BC$ и $CE = BD$.

Поскольку трапеция ABCD равнобокая, её диагонали равны: $AC = BD$.Из этих двух равенств следует, что $AC = CE = 14$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. В нём две стороны равны ($AC = CE$), значит, он является равнобедренным. Длина его основания AE равна $AD + DE$. Так как $DE = BC$, то $AE = AD + BC$.Таким образом, средняя линия трапеции равна половине основания AE треугольника ACE: $m = \frac{AE}{2}$.

В равнобокой трапеции углы между диагоналями и большим основанием равны, то есть $\angle BDA = \angle CAD = 60^\circ$.

Так как прямые BD и CE параллельны, а прямая AE является для них секущей, то соответственные углы равны: $\angle CEA = \angle BDA = 60^\circ$.

Мы выяснили, что треугольник ACE является равнобедренным, и один из его углов при основании, $\angle CEA$, равен 60°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle CAE = \angle CEA = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому третий угол $\angle ACE = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Так как все углы треугольника ACE равны 60°, он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $AE = AC = CE = 14$ см.

Мы нашли, что сумма оснований трапеции $AD + BC = AE = 14$ см.

Найдём среднюю линию трапеции:

$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Условие 2015-2022.

255. При каком условии высота равнобокой трапеции равна $\frac{a-b}{2}$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).