Номер 248, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 248, страница 49.

Условие 2023.

248. Высота равнобокой трапеции равна $h$, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом $60^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Высота трапеции по условию равна $h$.

По условию, боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом $60^\circ$. Это означает, что угол между отрезками, соединяющими концы боковой стороны с точкой $O$, равен $60^\circ$. Возьмем, к примеру, сторону $AB$, тогда $\angle AOB = 60^\circ$.

В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$). Также треугольники, образованные пересечением диагоналей с основаниями, являются равнобедренными. Рассмотрим $\triangle AOD$. В равнобокой трапеции углы при основании равны, то есть $\angle DAB = \angle CDA$. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB=DC$, $AD$ — общая сторона, $\angle DAB = \angle CDA$). Из равенства этих треугольников следует, что $\angle ADB = \angle DAC$. Таким образом, треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным с основанием $AD$, и, следовательно, $AO = DO$.

Угол $\angle AOD$ является смежным с углом $\angle AOB$. Значит, их сумма равна $180^\circ$.$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Так как $\triangle AOD$ — равнобедренный с вершиной $O$, его углы при основании $AD$ равны:$\angle OAD = \angle ODA = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Таким образом, угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$ равен $30^\circ$.

Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. По определению высоты, $CE \perp AD$, и по условию задачи, $CE = h$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACE$ (с прямым углом при вершине $E$). В этом треугольнике:

• $AC$ — гипотенуза, которая является диагональю трапеции.
• $CE$ — катет, равный высоте трапеции $h$.
• $\angle CAE$ (он же $\angle CAD$) — угол, противолежащий катету $CE$, и мы нашли, что он равен $30^\circ$.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике, имеем:$\sin(\angle CAE) = \frac{CE}{AC}$

Подставим известные значения:$\sin(30^\circ) = \frac{h}{AC}$

Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Поэтому:$\frac{1}{2} = \frac{h}{AC}$

Из этого уравнения выразим длину диагонали $AC$:$AC = 2h$

Ответ: $2h$

Условие 2015-2022.

248. Диагонали равнобокой трапеции $ABCD (AB = CD)$ пересекаются в точке O. Докажите, что $AO = OD$ и $BO = OC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).