Номер 246, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 246, страница 49.

Условие 2023.

246. Через вершину $C$ трапеции $ABCD$ проведена прямая, которая параллельна боковой стороне $AB$ и пересекает большее основание $AD$ в точке $E$. Найдите углы трапеции, если $\angle D = 35^\circ$, $\angle DCE = 65^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. Через вершину $C$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $AB$, которая пересекает основание $AD$ в точке $E$. Таким образом, по построению $CE \parallel AB$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. В нем стороны $BC$ и $AE$ параллельны, так как $BC \parallel AD$ и точка $E$ лежит на прямой $AD$. Стороны $AB$ и $CE$ параллельны по построению. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм.

Для нахождения углов трапеции сначала рассмотрим треугольник $CDE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. По условию нам известны $\angle D = 35^\circ$ и $\angle DCE = 65^\circ$. Найдем третий угол треугольника, $\angle CED$:
$\angle CED = 180^\circ - (\angle D + \angle DCE) = 180^\circ - (35^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь, используя свойства параллелограмма и трапеции, мы можем найти все ее углы.

Угол A
Поскольку $AB \parallel CE$ и прямая $AD$ является для них секущей, то соответственные углы $\angle A$ (он же $\angle BAE$) и $\angle CED$ равны.
$\angle A = \angle CED = 80^\circ$.

Угол B
В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $AB$ это углы $\angle A$ и $\angle B$.
$\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Отсюда, $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Угол D
Этот угол дан в условии задачи.
$\angle D = 35^\circ$.

Угол C
Угол $C$ трапеции — это $\angle BCD$, который равен сумме углов $\angle BCE$ и $\angle DCE$.
$\angle BCD = \angle BCE + \angle DCE$.
Угол $\angle DCE$ нам известен из условия: $\angle DCE = 65^\circ$.
Угол $\angle BCE$ является углом параллелограмма $ABCE$. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle BCE = \angle A = 80^\circ$.
Таким образом, $\angle C = 80^\circ + 65^\circ = 145^\circ$.
Для проверки можно использовать свойство углов трапеции у боковой стороны $CD$: $\angle C + \angle D = 145^\circ + 35^\circ = 180^\circ$, что является верным.

Ответ: углы трапеции равны: $\angle A = 80^\circ$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle C = 145^\circ$, $\angle D = 35^\circ$.

Условие 2015-2022.

246. Высота прямоугольной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 7 см и 5 см, считая от вершины прямого угла. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).