Номер 241, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 241, страница 49.

Условие 2023.

241. Высота прямоугольной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 7 см и 5 см, считая от вершины прямого угла. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD. В такой трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Пусть AD и BC — это основания ($AD \parallel BC$), и AD — большее основание. Пусть боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, тогда угол ∠A является прямым. В этом случае угол при вершине C будет тупым, а угол при вершине D — острым.

Из вершины тупого угла C проведём высоту CH на большее основание AD (то есть $CH \perp AD$). По условию задачи, эта высота делит основание AD на два отрезка. В условии указано, что отсчёт длин отрезков ведётся от вершины прямого угла, которая находится на большем основании. Эта вершина — A. Таким образом, отрезок AH равен 7 см, а отрезок HD равен 5 см.

Теперь мы можем найти длину большего основания AD, сложив длины отрезков AH и HD:
$AD = AH + HD = 7 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Далее найдём длину меньшего основания BC. Рассмотрим четырёхугольник ABCH. Сторона AB перпендикулярна AD, и высота CH перпендикулярна AD, следовательно, $AB \parallel CH$. Основания трапеции BC и AD также параллельны, а значит, $BC \parallel AH$. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Так как угол ∠A = 90°, то параллелограмм ABCH является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны. Следовательно, длина меньшего основания BC равна длине отрезка AH:
$BC = AH = 7 \text{ см}$.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Обозначим среднюю линию как $m$. Формула для её вычисления:
$m = \frac{AD + BC}{2}$

Подставим найденные значения длин оснований в эту формулу:
$m = \frac{12 + 7}{2} = \frac{19}{2} = 9,5 \text{ см}$.

Ответ: 9,5 см.

Условие 2015-2022.

241. Основания трапеции равны 9 см и 15 см. Чему равна её средняя линия?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).