Номер 235, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 235, страница 49.

Условие 2023.

235. Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 24 см, а один из углов – $45^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Обозначим трапецию как ABCD, где AD и BC — основания, а AB — боковая сторона, перпендикулярная им. Следовательно, углы ∠A и ∠B являются прямыми (∠A = ∠B = 90°).

По условию, длины оснований равны 10 см и 24 см. Пусть меньшее основание BC = 10 см, а большее основание AD = 24 см.

Также известно, что один из углов трапеции равен 45°. Поскольку углы A и B прямые, этот угол должен быть либо ∠C, либо ∠D. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°. Для стороны CD имеем ∠C + ∠D = 180°. Так как один из этих углов должен быть острым, а другой тупым, то острый угол равен 45°. В трапеции острые углы прилегают к большему основанию. Таким образом, ∠D = 45°.

Для нахождения боковых сторон проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В результате мы получаем прямоугольник ABCH и прямоугольный треугольник CHD.

В прямоугольнике ABCH противоположные стороны равны:
1. Высота трапеции CH равна боковой стороне AB.
2. Отрезок AH на большем основании равен меньшему основанию BC, то есть AH = 10 см.

Найдем длину отрезка HD:
HD = AD - AH = 24 см - 10 см = 14 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Мы знаем, что ∠CHD = 90° и ∠D = 45°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому третий угол ∠HCD = 180° - 90° - 45° = 45°.

Поскольку в треугольнике CHD два угла равны (∠D = ∠HCD = 45°), он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: CH = HD.

Так как HD = 14 см, то и высота CH = 14 см.

Теперь мы можем найти длины обеих боковых сторон трапеции:
1. Первая боковая сторона — это AB. Так как AB = CH, то AB = 14 см.
2. Вторая боковая сторона — это CD, гипотенуза в треугольнике CHD. Её длину можно найти по теореме Пифагора:
$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 14^2 + 14^2 = 196 + 196 = 392$
$CD = \sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}$ см.

Сравним длины боковых сторон: AB = 14 см и $CD = 14\sqrt{2}$ см.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $14\sqrt{2} > 14$.
Следовательно, меньшая боковая сторона — это AB.

Ответ: 14 см.

Условие 2015-2022.

235. Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 24 см, а один из углов – $45^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).