Номер 236, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 236, страница 49.

Условие 2023.

236. Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов – $60^\circ$. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и DC — основания, а AD — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $ \angle A = \angle D = 90^\circ $.

По условию задачи:

• Меньшее основание AB = 7 см.
• Большее основание DC = 15 см.
• Один из углов равен 60°. Так как углы A и D прямые, этот угол может быть либо $ \angle B $, либо $ \angle C $. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Острый угол в такой трапеции может быть только при большем основании. Следовательно, $ \angle C = 60^\circ $, а тупой угол $ \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $.

Боковыми сторонами трапеции являются AD (которая также является высотой) и BC. Необходимо найти длину большей из них.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию DC. Фигура ABHD является прямоугольником, поскольку все ее углы прямые.

Из свойств прямоугольника следует, что DH = AB = 7 см и AD = BH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC ($ \angle BHC = 90^\circ $).

Найдем длину катета HC:

$ HC = DC - DH = 15 - 7 = 8 $ см.

В треугольнике BHC известны катет HC = 8 см и прилежащий к нему острый угол $ \angle C = 60^\circ $. Боковая сторона BC является гипотенузой этого треугольника.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

$ \cos(\angle C) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{HC}{BC} $

Выразим отсюда гипотенузу BC:

$ BC = \frac{HC}{\cos(\angle C)} = \frac{8}{\cos(60^\circ)} $

Зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ BC = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16 $ см.

Теперь найдем длину второй боковой стороны AD. Мы знаем, что AD = BH. BH — это катет в треугольнике BHC. Найдем его, используя определение тангенса:

$ \tan(\angle C) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{HC} $

$ BH = HC \cdot \tan(\angle C) = 8 \cdot \tan(60^\circ) $

Зная, что $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $, получаем:

$ AD = BH = 8\sqrt{3} $ см.

Теперь необходимо сравнить длины боковых сторон BC = 16 см и AD = $ 8\sqrt{3} $ см. Для сравнения возведем оба значения в квадрат:

$ (16)^2 = 256 $

$ (8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192 $

Поскольку $ 256 > 192 $, то $ 16 > 8\sqrt{3} $. Следовательно, боковая сторона BC длиннее стороны AD.

Таким образом, большая боковая сторона трапеции равна 16 см.

Ответ: 16 см.

Условие 2015-2022.

236. Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов – $60^\circ$. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).