Номер 230, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 230, страница 48.

Условие 2023.

230. Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства данного утверждения рассмотрим трапецию ABCD, в которой AD и BC являются основаниями (AD || BC), а AB и CD — боковыми сторонами. Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны ($AB = CD$). Нам нужно доказать, что если углы при одном из оснований равны, то трапеция является равнобокой.

Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, при каком основании углы равны.

Случай 1: Углы при большем основании равны

Пусть в трапеции ABCD углы при основании AD равны, то есть $ \angle A = \angle D $.
Дано: трапеция ABCD, AD || BC, $ \angle A = \angle D $.
Доказать: $ AB = CD $.

Доказательство:
1. Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. По построению, $ BH \perp AD $ и $ CK \perp AD $.
2. Так как AD || BC, то четырехугольник HBCK является прямоугольником (поскольку $ BH \perp AD $ и $ CK \perp AD $, то BH || CK). Следовательно, высоты, проведенные между параллельными основаниями, равны: $ BH = CK $.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ (где $ \angle AHB = 90^\circ $) и $ \triangle DCK $ (где $ \angle DKC = 90^\circ $).
4. Сравним эти треугольники:
- $ BH = CK $ (как высоты трапеции).
- $ \angle A = \angle D $ (по условию).
5. Таким образом, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle DCK $ равны по катету и противолежащему острому углу.
6. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $ AB = CD $.
7. Поскольку боковые стороны трапеции равны, трапеция ABCD является равнобокой.

Случай 2: Углы при меньшем основании равны

Пусть в трапеции ABCD углы при основании BC равны, то есть $ \angle B = \angle C $.
Дано: трапеция ABCD, AD || BC, $ \angle B = \angle C $.
Доказать: $ AB = CD $.

Доказательство:
1. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $ 180^\circ $, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых AD и BC и секущей (боковой стороне).
2. Для стороны AB имеем: $ \angle A + \angle B = 180^\circ $, откуда $ \angle A = 180^\circ - \angle B $.
3. Для стороны CD имеем: $ \angle D + \angle C = 180^\circ $, откуда $ \angle D = 180^\circ - \angle C $.
4. По условию нам дано, что $ \angle B = \angle C $.
5. Из этого следует, что $ 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \angle C $, а значит $ \angle A = \angle D $.
6. Таким образом, мы показали, что если углы при верхнем основании равны, то углы при нижнем основании также равны. Эта задача сводится к Случаю 1.
7. На основании доказательства для Случая 1, из равенства углов $ \angle A = \angle D $ следует равенство боковых сторон $ AB = CD $.
8. Следовательно, трапеция ABCD является равнобокой.

Мы рассмотрели оба возможных случая и в каждом из них доказали, что трапеция является равнобокой. Утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если углы при одном из оснований трапеции равны, то эта трапеция является равнобокой, так как ее боковые стороны равны.

Условие 2015-2022.

230. Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).