Номер 228, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 228, страница 48.

Условие 2023.

228. Могут ли у трапеции быть:

1) три прямых угла;

2) три острых угла;

3) два противолежащих угла тупыми;

4) два противолежащих угла прямыми;

5) два противолежащих угла равными?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) три прямых угла

Пусть трапеция ABCD имеет основания AD и BC (AD || BC). Тогда сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне, равна $180^\circ$. То есть, $ \angle A + \angle B = 180^\circ $ и $ \angle C + \angle D = 180^\circ $.
Предположим, что у трапеции три прямых угла, например, $ \angle A = \angle B = \angle C = 90^\circ $.
Проверим свойство для боковой стороны AB: $ \angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Условие выполняется.
Теперь используем свойство для боковой стороны CD: $ \angle C + \angle D = 180^\circ $. Подставив известное значение $ \angle C $, получим $ 90^\circ + \angle D = 180^\circ $, откуда $ \angle D = 90^\circ $.
Таким образом, если у трапеции три прямых угла, то и четвертый угол обязан быть прямым. Такая фигура является прямоугольником. Прямоугольник — это частный случай трапеции, так как у него есть по крайней мере одна пара параллельных сторон.
Ответ: Да, могут.

2) три острых угла

Пусть трапеция ABCD имеет основания AD и BC. Тогда суммы углов при боковых сторонах равны $180^\circ$: $ \angle A + \angle B = 180^\circ $ и $ \angle C + \angle D = 180^\circ $.
Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$.
Предположим, что у трапеции есть три острых угла. В любой тройке углов трапеции обязательно найдутся два угла, прилежащие к одной боковой стороне (например, $ \angle A $ и $ \angle B $, или $ \angle C $ и $ \angle D $).
Если бы углы, прилежащие к одной боковой стороне (например, $ \angle A $ и $ \angle B $), были оба острыми, то их сумма была бы меньше, чем $ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Это противоречит свойству трапеции, согласно которому эта сумма должна быть ровно $180^\circ$.
Следовательно, у трапеции не может быть трех острых углов, так как это привело бы к тому, что по крайней мере у одной боковой стороны оба прилежащих угла были бы острыми.
Ответ: Нет, не могут.

3) два противолежащих угла тупыми

Да, могут. Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и BC противолежащие углы $ \angle B $ и $ \angle D $ — тупые. Тупой угол — это угол, больший $90^\circ$ и меньший $180^\circ$.
Итак, $ \angle B > 90^\circ $ и $ \angle D > 90^\circ $.
Используем свойство углов трапеции, прилежащих к боковым сторонам: $ \angle A + \angle B = 180^\circ $ и $ \angle C + \angle D = 180^\circ $.
Из $ \angle B > 90^\circ $ следует, что $ \angle A = 180^\circ - \angle B < 90^\circ $, то есть угол $ \angle A $ — острый.
Из $ \angle D > 90^\circ $ следует, что $ \angle C = 180^\circ - \angle D < 90^\circ $, то есть угол $ \angle C $ — острый.
Такая комбинация углов (два противолежащих тупых и два противолежащих острых) возможна. Например, существует трапеция с углами $ \angle A = 70^\circ, \angle B = 110^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle D = 120^\circ $. Здесь противолежащие углы $ \angle B = 110^\circ $ и $ \angle D = 120^\circ $ являются тупыми.
Ответ: Да, могут.

4) два противолежащих угла прямыми

Да, могут. Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и BC противолежащие углы $ \angle A $ и $ \angle C $ — прямые, то есть $ \angle A = 90^\circ $ и $ \angle C = 90^\circ $.
Из свойства углов трапеции $ \angle A + \angle B = 180^\circ $ следует, что $ 90^\circ + \angle B = 180^\circ $, откуда $ \angle B = 90^\circ $.
Из свойства $ \angle C + \angle D = 180^\circ $ следует, что $ 90^\circ + \angle D = 180^\circ $, откуда $ \angle D = 90^\circ $.
Таким образом, все четыре угла трапеции являются прямыми, и эта трапеция — прямоугольник. Поскольку прямоугольник является частным случаем трапеции, такая ситуация возможна.
Ответ: Да, могут.

5) два противолежащих угла равными

Да, могут. Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и BC равны противолежащие углы, например, $ \angle A = \angle C $.
Свойства углов трапеции, прилежащих к боковым сторонам:
1) $ \angle A + \angle B = 180^\circ $
2) $ \angle C + \angle D = 180^\circ $
Так как по предположению $ \angle A = \angle C $, мы можем подставить $ \angle A $ вместо $ \angle C $ в уравнение (2): $ \angle A + \angle D = 180^\circ $.
Теперь сравним два равенства: $ \angle A + \angle B = 180^\circ $ и $ \angle A + \angle D = 180^\circ $.
Из них следует, что $ \angle B = \angle D $.
Таким образом, если у трапеции одна пара противолежащих углов равна, то и вторая пара противолежащих углов тоже равна. Четырехугольник, у которого противолежащие углы попарно равны, является параллелограммом.
Параллелограмм — это частный случай трапеции (так как у него есть как минимум одна пара параллельных сторон). Следовательно, у трапеции могут быть два равных противолежащих угла — это происходит, когда трапеция является параллелограммом.
Ответ: Да, могут.

Условие 2015-2022.

228. Могут ли у трапеции быть:

1) три прямых угла;

2) три острых угла;

3) два противолежащих угла тупыми;

4) два противолежащих угла прямыми;

5) два противолежащих угла равными?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).