Номер 234, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 234, страница 48.

Условие 2023.

234. Один из углов равнобокой трапеции равен $60^\circ$, боковая сторона равна 18 см, а сумма оснований – 50 см. Найдите основания трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a$ и $b$ (где $a$ — большее основание, $b$ — меньшее), а боковая сторона равна $c$.

Из условия задачи нам известно:
1. Один из углов равен $60^\circ$. В равнобокой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Если бы $60^\circ$ был тупым углом, то острый угол был бы равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, что является противоречием. Следовательно, $60^\circ$ — это острый угол при большем основании.
2. Длина боковой стороны $c = 18$ см.
3. Сумма оснований $a + b = 50$ см.

Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника по краям. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, можно найти, используя боковую сторону (которая является гипотенузой) и угол при основании.

Пусть длина этого катета (проекции боковой стороны на основание) равна $x$. Тогда:
$x = c \cdot \cos(60^\circ)$
Подставляем известные значения:
$x = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Большее основание $a$ состоит из меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$ по бокам. Таким образом, можно записать:
$a = b + 2x$
$a = b + 2 \cdot 9$
$a = b + 18$
Это дает нам второе уравнение: $a - b = 18$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 50 \\ a - b = 18 \end{cases} $

Сложим два уравнения, чтобы найти $a$:
$(a + b) + (a - b) = 50 + 18$
$2a = 68$
$a = 34$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$34 + b = 50$
$b = 50 - 34 = 16$ см.

Итак, основания трапеции равны 16 см и 34 см.

Ответ: 16 см и 34 см.

Условие 2015-2022.

234. Один из углов равнобокой трапеции равен $60^\circ$, боковая сторона равна 18 см, а сумма оснований – 50 см. Найдите основания трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).