Номер 231, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 231, страница 48.

Условие 2023.

то данная трапеция является равнобокой.

231. Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $180^\circ$. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна $180^\circ$, то данная трапеция равнобокая?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180°.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$).

По свойству равнобокой трапеции, углы при каждом основании равны: $∠A = ∠D$ и $∠B = ∠C$.

По свойству любой трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей (боковой стороне).

Следовательно, $∠A + ∠B = 180°$.

Рассмотрим сумму противолежащих углов $∠A$ и $∠C$. Так как трапеция равнобокая, то $∠B = ∠C$. Заменим в равенстве $∠A + ∠B = 180°$ угол $∠B$ на равный ему угол $∠C$, получим:

$∠A + ∠C = 180°$.

Аналогично для другой пары противолежащих углов $∠B$ и $∠D$. Мы знаем, что $∠A = ∠D$. Заменим в равенстве $∠A + ∠B = 180°$ угол $∠A$ на равный ему угол $∠D$, получим:

$∠D + ∠B = 180°$.

Таким образом, доказано, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $180°$.

Ответ: Утверждение доказано.

Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180°, то данная трапеция равнобокая?

Да, это утверждение верно. Докажем его.

Пусть в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) сумма противолежащих углов равна $180°$. Например, $∠A + ∠C = 180°$.

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством углов, прилежащих к боковой стороне. Для боковой стороны $CD$ справедливо равенство: $∠D + ∠C = 180°$.

Теперь у нас есть два равенства:

$∠A + ∠C = 180°$ (по условию)

$∠D + ∠C = 180°$ (по свойству трапеции)

Из этих равенств следует, что $∠A + ∠C = ∠D + ∠C$.

Вычитая из обеих частей равенства $∠C$, получаем $∠A = ∠D$.

По признаку равнобокой трапеции, если у трапеции углы при одном из оснований равны, то такая трапеция является равнобокой.

Следовательно, трапеция $ABCD$ — равнобокая.

Ответ: Да, обратное утверждение верно.

Условие 2015-2022.

231. Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $180^\circ$. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна $180^\circ$, то данная трапеция равнобокая?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).