Номер 229, страница 48 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 229, страница 48.

Условие 2023.

229. Могут ли:

1) основания трапеции быть равными;

2) диагонали трапеции точкой пересечения делиться пополам?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) основания трапеции быть равными;
По определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (это основания), а две другие — нет.
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями. По определению трапеции $AD \parallel BC$.
Предположим, что основания равны, то есть $AD = BC$.
Существует признак параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
В нашем случае стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны по предположению. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. У параллелограмма противолежащие стороны попарно параллельны, то есть не только $AD \parallel BC$, но и $AB \parallel CD$.
Это противоречит определению трапеции, у которой только одна пара параллельных сторон. Таким образом, если основания "трапеции" равны, то это уже не трапеция, а параллелограмм.
Ответ: нет.

2) диагонали трапеции точкой пересечения делиться пополам?
Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Предположим, что диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.
Существует признак параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Следовательно, если бы диагонали трапеции делились точкой пересечения пополам, то эта трапеция была бы параллелограммом. Но, как мы выяснили в пункте 1, у трапеции не может быть две пары параллельных сторон.
Можно доказать это и другим способом. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.
Поскольку $AD \parallel BC$, то:

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$
Если предположить, что диагонали делятся пополам, то $AO = CO$ и $DO = BO$. Тогда отношение $\frac{AO}{CO} = 1$ и $\frac{DO}{BO} = 1$.
Это означает, что и $\frac{AD}{BC} = 1$, то есть $AD = BC$. А как показано в пункте 1, трапеция с равными основаниями является параллелограммом, что противоречит определению трапеции.
Ответ: нет.

Условие 2015-2022.

229. Могут ли:

1) основания трапеции быть равными;

2) диагонали трапеции точкой пересечения делиться пополам?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).