Номер 242, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 242, страница 49.

Условие 2023.

242. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причём $AD > BC$. Пусть угол A — прямой ($∠A = 90°$), тогда боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Соответственно, угол C — тупой, а угол D — острый.

Обозначим длины оснований: $a = AD$ (большее основание) и $b = BC$ (меньшее основание).

1. Использование формулы средней линии трапеции
Средняя линия трапеции, обозначим её $m$, равна полусумме её оснований: $m = \frac{a+b}{2}$

По условию задачи, средняя линия равна 9 см. Подставим это значение в формулу: $\frac{a+b}{2} = 9$

Отсюда получаем первое уравнение для нахождения оснований: $a+b = 18$

2. Анализ деления большего основания высотой
Проведём высоту CH из вершины тупого угла C на большее основание AD. Точка H лежит на AD.

Рассмотрим четырёхугольник ABCH. В нём сторона AB параллельна CH (так как обе являются высотами, перпендикулярными AD). Сторона BC параллельна AH (так как BC и AD — параллельные основания трапеции). Угол A равен 90°. Следовательно, четырёхугольник ABCH является прямоугольником.

Из свойств прямоугольника следует, что длина отрезка AH равна длине меньшего основания BC: $AH = BC = b$

Высота CH делит большее основание AD на два отрезка: AH и HD. Длина основания AD является суммой длин этих отрезков: $AD = AH + HD$ $a = b + HD$

Отсюда можно выразить длину отрезка HD: $HD = a - b$

3. Использование условия о соотношении отрезков
В условии сказано, что высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла.

Вершина прямого угла на большем основании — это A. Отрезки, если считать от этой вершины, — это AH и HD. Условие означает, что один из этих отрезков в 2 раза длиннее другого. Наиболее естественная трактовка фразы "считая от вершины" предполагает, что отрезки рассматриваются в определённом порядке, и соотношение применяется к ним последовательно. То есть, второй отрезок (HD) в 2 раза больше первого (AH).

Запишем это в виде уравнения: $HD = 2 \cdot AH$

Подставим в это равенство выражения для AH и HD, полученные ранее: $a - b = 2 \cdot b$

Из этого уравнения получаем вторую зависимость между основаниями: $a = 3b$

4. Решение системы уравнений и нахождение оснований
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $ \begin{cases} a+b = 18 \\ a = 3b \end{cases} $

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое: $3b + b = 18$ $4b = 18$ $b = \frac{18}{4} = 4,5$ см

Теперь, зная значение $b$, найдём $a$ из второго уравнения: $a = 3 \cdot 4,5 = 13,5$ см

Таким образом, длины оснований трапеции равны 13,5 см и 4,5 см.

Ответ: Основания трапеции равны 13,5 см и 4,5 см.

Условие 2015-2022.

242. Средняя линия трапеции равна 8 см, а одно из оснований — 5 см. Найдите второе основание трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).