Номер 247, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 247, страница 49.

Условие 2023.

247. Диагонали равнобокой трапеции ABCD ($AB = CD$) пересекаются в точке O. Докажите, что $AO = OD$ и $BO = OC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которой боковые стороны равны ($AB = CD$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что $AO = OD$ и $BO = OC$.

Доказательство, что AO = OD

Рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle CDA$.
1. $AB = CD$ по условию, так как трапеция равнобокая.
2. $AD$ — общая сторона.
3. $\angle DAB = \angle CDA$ как углы при основании равнобокой трапеции.
Следовательно, $\triangle DAB \cong \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle BDA = \angle CAD$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. В нем углы при стороне $AD$ равны: $\angle ODA = \angle OAD$ (так как это те же углы, что и $\angle BDA$ и $\angle CAD$).
Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\triangle AOD$ — равнобедренный с основанием $AD$.
В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AO = OD$.
Ответ: Равенство $AO = OD$ доказано.

Доказательство, что BO = OC

Из доказанного выше равенства треугольников $\triangle DAB \cong \triangle CDA$ следует также и равенство их соответствующих сторон: $BD = AC$. То есть диагонали равнобокой трапеции равны.
Диагональ $AC$ состоит из отрезков $AO$ и $OC$, то есть $AC = AO + OC$.
Диагональ $BD$ состоит из отрезков $BO$ и $OD$, то есть $BD = BO + OD$.
Так как $AC = BD$, мы можем записать:
$AO + OC = BO + OD$
В предыдущем пункте мы доказали, что $AO = OD$. Заменим в равенстве $OD$ на $AO$:
$AO + OC = BO + AO$
Вычтем из обеих частей равенства отрезок $AO$:
$OC = BO$
Ответ: Равенство $BO = OC$ доказано.

Условие 2015-2022.

247. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, прове-дённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямо-го угла. Найдите основания трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).