Номер 253, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 253, страница 50.

Условие 2023.

253. Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и диагонали.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения равнобокой трапеции по заданным основанию, боковой стороне и диагонали, воспользуемся методом построения с помощью циркуля и линейки. Пусть даны три отрезка, соответствующие основанию $a$, боковой стороне $b$ и диагонали $d$.

Анализ

Пусть искомая равнобокая трапеция — это $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Предположим, что данное основание — это большее основание $AD$. Тогда $AD = a$. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD = b$. Диагонали в равнобокой трапеции также равны: $AC = BD = d$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Все три его стороны нам известны: $AD = a$, $CD = b$ и $AC = d$. Мы можем построить этот треугольник по трем сторонам. После построения треугольника $ACD$ у нас будут определены три вершины трапеции: $A$, $C$ и $D$.

Четвертая вершина $B$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна лежать на прямой, проходящей через точку $C$ параллельно основанию $AD$ (так как $BC \parallel AD$).
2. Она должна находиться на расстоянии $b$ от точки $A$ (так как $AB = b$).

Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой, параллельной $AD$ и проходящей через $C$, и окружности с центром в точке $A$ и радиусом $b$.

Построение

1. Строим отрезок $AD$ длиной $a$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$ (длина диагонали).
3. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$ (длина боковой стороны).
4. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем как $C$. Соединяем точки $A$, $C$ и $D$, получая треугольник $ACD$.
5. Через точку $C$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AD$. Для этого можно, например, построить окружность с центром в $D$ радиусом $AC=d$ и окружность с центром в $C$ радиусом $AD=a$. Вторая точка их пересечения даст вершину параллелограмма $ADCE$, и прямая $CE$ будет параллельна $AD$. Либо можно использовать построение с помощью двух одинаковых окружностей или угольника.
6. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$.
7. Точку пересечения прямой $l$ и дуги из предыдущего шага обозначаем как $B$.
8. Соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является искомой равнобокой трапецией.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Основание $AD = a$ по построению.
• Боковая сторона $CD = b$ по построению (шаг 3).
• Боковая сторона $AB = b$ по построению (шаг 7). Следовательно, $AB = CD$, и трапеция является равнобокой.
• Диагональ $AC = d$ по построению (шаг 2).
• Основание $BC$ лежит на прямой $l$, которая по построению параллельна $AD$ (шаг 5).

Таким образом, $ABCD$ — равнобокая трапеция с основанием $a$, боковой стороной $b$ и диагональю $d$.

Условие существования

Задача имеет решение только в том случае, если можно построить треугольник $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $d$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон.

$a < b + d$

$b < a + d$

$d < a + b$

Если эти условия не выполняются, построение невозможно.

Условие 2015-2022.

253. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и является биссектрисой угла $BAD$, $\angle D = 60^{\circ}$, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).