Номер 260, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 260, страница 50.

Условие 2023.

260. В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и является биссектрисой угла $BAD$, $\angle D = 60^\circ$, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. По условию $AC \perp CD$, значит $∠ACD = 90°$. Также дано, что $∠D = 60°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому можем найти угол $∠CAD$:
$∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠D = 180° - 90° - 60° = 30°$.

2. По условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $∠BAD$. Это значит, что $∠BAC = ∠CAD$. Так как мы нашли, что $∠CAD = 30°$, то и $∠BAC = 30°$.
Следовательно, весь угол $∠BAD$ равен сумме его частей:
$∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 30° + 30° = 60°$.

3. В трапеции $ABCD$ углы при нижнем основании $AD$ равны: $∠BAD = 60°$ и $∠D = 60°$. Трапеция, у которой углы при основании равны, является равнобедренной. Значит, боковые стороны равны: $AB = CD$.

4. Так как $AD \parallel BC$ (по определению трапеции), а $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны: $∠BCA = ∠CAD = 30°$.

5. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем углы при стороне $AC$ равны: $∠BAC = 30°$ и $∠BCA = 30°$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

6. Из шагов 3 и 5 мы получаем, что $AB = CD$ и $AB = BC$. Отсюда следует, что три стороны трапеции равны между собой: $AB = BC = CD$. Обозначим длину этих сторон переменной $x$.

7. Вернемся к прямоугольному треугольнику $ACD$. В нем катет $CD$ лежит напротив угла $∠CAD = 30°$. Известно, что катет, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Гипотенузой в этом треугольнике является основание $AD$. Таким образом:
$CD = \frac{1}{2}AD$.
Поскольку $CD = x$, то $AD = 2 \cdot CD = 2x$.

8. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон. По условию, периметр равен 40 см.
$P = AB + BC + CD + AD = 40$.
Подставим выражения длин сторон через $x$:
$x + x + x + 2x = 40$
$5x = 40$
$x = 8$ см.

9. Теперь можем найти длины оснований трапеции:
Верхнее основание $BC = x = 8$ см.
Нижнее основание $AD = 2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 16 см.

Условие 2015-2022.

260. Диагональ равнобокой трапеции равна 14 см и образует с основанием угол $60^\circ$. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).