Номер 257, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 257, страница 50.

Условие 2023.

257. Каждая из боковых сторон трапеции $ABCD$ (рис. 75) разделена на четыре равные части: $AE = EF = FK = KB$, $DN = NM = MP = PC$. Найдите отрезки $EN, FM$ и $KP$, если $AD = 19$ см, $BC = 11$ см.

Рис. 75

Решение 4 (2023).

Решение 5 (2023).

Решение 6 (2023).

В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD разделены на 4 равные части. Отрезки EN, FM, KP, соединяющие соответственные точки деления, параллельны основаниям AD и BC по обобщённой теореме Фалеса. Длины этих отрезков вместе с длинами оснований образуют арифметическую прогрессию. Этот факт следует из многократного применения теоремы о средней линии трапеции.

Таким образом, последовательность длин $BC, KP, FM, EN, AD$ является арифметической прогрессией. Обозначим её члены как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$.

По условию, первый и пятый члены прогрессии равны длинам оснований:

$a_1 = BC = 11$ см

$a_5 = AD = 19$ см

Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти по формуле $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Для $n=5$ имеем:

$a_5 = a_1 + (5-1)d$

$19 = 11 + 4d$

$4d = 19 - 11$

$4d = 8$

$d = \frac{8}{4} = 2$ см.

Зная первый член прогрессии и её разность, мы можем найти длины искомых отрезков.

EN

Отрезок EN является четвертым членом $a_4$ нашей арифметической прогрессии. Его длину можно найти по формуле:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$EN = 11 + 3 \cdot 2 = 11 + 6 = 17$ см.

Ответ: EN = 17 см.

FM

Отрезок FM является третьим членом $a_3$ нашей арифметической прогрессии. Его длину можно найти по формуле:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$FM = 11 + 2 \cdot 2 = 11 + 4 = 15$ см.

Ответ: FM = 15 см.

KP

Отрезок KP является вторым членом $a_2$ нашей арифметической прогрессии. Его длину можно найти по формуле:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$KP = 11 + 1 \cdot 2 = 13$ см.

Ответ: KP = 13 см.

Условие 2015-2022.

257. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и меньшей боковой стороне.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).