Номер 254, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 254, страница 50.

Условие 2023.

254. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, большее основание – 10 см. Найдите среднюю линию трапеции, если один из её углов равен $60^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию задачи, боковая сторона $AB = CD = 6$ см, а большее основание $AD = 10$ см. Так как трапеция равнобокая, её углы при основаниях равны. Угол в 60° является острым, значит, он находится при большем основании: $\angle A = \angle D = 60°$.

Средняя линия трапеции, обозначим её $m$, равна полусумме длин оснований. Формула для её вычисления:$m = \frac{AD + BC}{2}$

Чтобы найти среднюю линию, нам необходимо определить длину меньшего основания BC. Для этого проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. В результате трапеция разделяется на центральный прямоугольник HBCK (где $HK = BC$) и два равных прямоугольных треугольника по бокам — ABH и DCK. Равенство треугольников следует из того, что трапеция равнобокая, и поэтому отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны: $AH = KD$.

Длину большего основания можно представить в виде суммы:$AD = AH + HK + KD$.Подставив известные соотношения, получим:$AD = 2 \cdot AH + BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ($\angle AHB = 90°$). В нем известны гипотенуза $AB$ (боковая сторона трапеции, 6 см) и прилежащий острый угол $\angle A = 60°$. Мы можем найти катет AH, используя косинус:$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(60°)$.

Поскольку $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, длина отрезка AH равна:$AH = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем найти длину меньшего основания BC, подставив значение AH в формулу для AD:$10 = 2 \cdot 3 + BC$$10 = 6 + BC$$BC = 10 - 6 = 4$ см.

Зная длины обоих оснований, вычисляем среднюю линию трапеции:$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

Условие 2015-2022.

254. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).