Номер 249, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 249, страница 49.

Условие 2023.

249. Стороны трапеции равны $a$, $a$, $a$ и $2a$. Найдите углы трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

В трапеции две стороны (основания) параллельны. Пусть стороны трапеции равны $a, a, a$ и $2a$. Основаниями не могут быть две стороны длиной $a$, так как в этом случае трапеция была бы параллелограммом, а у параллелограмма противолежащие стороны равны, что не выполняется для двух других сторон ($a$ и $2a$). Следовательно, основания трапеции — это стороны длиной $a$ и $2a$, а боковые стороны равны $a$. Поскольку боковые стороны равны, трапеция является равнобедренной.

Обозначим трапецию $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Тогда $BC = a$, $AD = 2a$, и боковые стороны $AB = CD = a$.

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH, CK$ — перпендикуляры к $AD$. Отсюда следует, что $HK = BC = a$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD$, $BH=CK$). Следовательно, равны и их вторые катеты: $AH = KD$.

Длина основания $AD$ состоит из суммы длин отрезков $AH, HK, KD$:

$AD = AH + HK + KD$

Подставив известные значения и учитывая, что $AH=KD$, получим:

$2a = AH + a + AH$

$2a = 2 \cdot AH + a$

$2 \cdot AH = a$

$AH = \frac{a}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нём гипотенуза $AB = a$ и катет $AH = \frac{a}{2}$. Угол $\angle A$ трапеции является углом этого треугольника. Найдем его, используя определение косинуса:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что $\angle A = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Так как углы при другом основании также равны, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

Условие 2015-2022.

249. Высота равнобокой трапеции равна $h$, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом* $60^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).