Номер 250, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 250, страница 50.

Условие 2023.

250. При каком условии высота равнобокой трапеции равна полуразности оснований?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция, основания которой равны $a$ и $b$ (причем $a > b$), а высота равна $h$.

Проведем из вершин меньшего основания высоты на большее основание. Эти высоты отсекают от трапеции два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности оснований. Обозначим этот катет как $x$.

$x = \frac{a - b}{2}$

Второй катет в этом прямоугольном треугольнике — это высота трапеции $h$. Угол при большем основании трапеции, обозначим его $\alpha$, является острым углом этого треугольника. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x} = \frac{h}{\frac{a - b}{2}}$

По условию задачи, высота трапеции равна полуразности оснований:

$h = \frac{a - b}{2}$

Подставим это условие в формулу для тангенса угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{\frac{a - b}{2}}{\frac{a - b}{2}} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, угол при большем основании трапеции должен быть равен $45^\circ$. Так как трапеция равнобокая, оба угла при большем основании равны $45^\circ$. Углы при меньшем основании будут равны $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: высота равнобокой трапеции равна полуразности оснований, если ее острые углы (углы при большем основании) равны $45^\circ$.

Условие 2015-2022.

250. Основания равнобокой трапеции относятся как $2 : 5$, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 68 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).