Номер 251, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 251, страница 50.

Условие 2023.

251. Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и углу между ними.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для построения равнобокой трапеции по заданным основанию, боковой стороне и углу между ними, будем считать, что нам даны три элемента: отрезок, равный основанию $a$, отрезок, равный боковой стороне $b$, и угол $\alpha$, равный углу при этом основании. Пусть искомая трапеция — $ABCD$, где $AD$ — данное основание, $AB$ — данная боковая сторона, а $\angle DAB$ — данный угол.

Анализ

Пусть трапеция $ABCD$ построена. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, нам известна длина основания $AD = a$, длина боковой стороны $AB = b$ и угол $\angle DAB = \alpha$. Так как трапеция равнобокая, то $CD = AB = b$ и углы при основании равны: $\angle ADC = \angle DAB = \alpha$.

Вершины $A$ и $D$ можно построить, отложив на прямой отрезок $AD$ длиной $a$. Вершина $B$ находится на расстоянии $b$ от точки $A$ под углом $\alpha$ к $AD$. Вершина $C$ должна удовлетворять двум условиям: 1. Она лежит на прямой, проходящей через точку $B$ параллельно основанию $AD$. 2. Она находится на расстоянии $b$ от точки $D$ (так как $CD=b$). Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения прямой и окружности.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AD$, равный данному основанию $a$.
2. От луча $AD$ в заданной полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим луч $AM$.
3. На луче $AM$ от точки $A$ отложим отрезок $AB$, равный данной боковой стороне $b$.
4. Через точку $B$ проведем прямую $l$, параллельную прямой $AD$. Для этого можно, например, построить угол $\angle ABK = 180^\circ - \alpha$ так, чтобы прямая $BK$ была параллельна $AD$.
5. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом, равным длине боковой стороны $b$.
6. Точка пересечения прямой $l$ и построенной окружности является четвертой вершиной трапеции — точкой $C$.
7. Соединим точки отрезками, чтобы получить трапецию $ABCD$.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

• По построению, сторона $AD$ равна заданному основанию $a$.
• По построению, сторона $AB$ равна заданной боковой стороне $b$.
• По построению, угол $\angle DAB$ равен заданному углу $\alpha$.
• Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ по построению (шаг 4). Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
• Длина боковой стороны $AB$ равна $b$ по построению. Длина стороны $CD$ также равна $b$, так как точка $C$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $b$ (шаг 5 и 6).

Поскольку в трапеции $ABCD$ боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, эта трапеция является равнобокой. Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Примечание: Задача имеет единственное решение (в одной полуплоскости), если $0 < \alpha < 180^\circ$. Если $\alpha = 90^\circ$, трапеция будет прямоугольной, и для того чтобы она была равнобокой, она должна быть прямоугольником, что требует дополнительных условий на $a$ и $b$. В общем случае, построение возможно.

Ответ: Алгоритм построения равнобокой трапеции по основанию, боковой стороне и углу между ними, а также доказательство корректности построения, приведены выше.

Условие 2015-2022.

251. В трапеции ABCD известно, что $AB = CD$, $AD = 24$ см, $\angle ADB = \angle CDB$, а периметр равен 60 см. Найдите неизвестные стороны трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).