Номер 263, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Трапеция. Глава 1. Четырёхугольники - номер 263, страница 50.

Условие 2023.

263. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$, а высоту трапеции как $h$.

Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$.По условию задачи, высота трапеции равна её средней линии, то есть $h = m = \frac{a+b}{2}$.

Для доказательства того, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. Его катет $CH$ равен высоте трапеции $h$, то есть $CH = \frac{a+b}{2}$.

Найдём длину второго катета $AH$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой от вершины большего основания, равен полуразности оснований. То есть, если опустить высоту $BK$ из вершины $B$, то $HD = AK = \frac{a-b}{2}$. Тогда длина отрезка $AH$ будет равна $AH = AD - HD = a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a - a + b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ катеты равны: $AH = CH = \frac{a+b}{2}$.Следовательно, $\triangle ACH$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны по $45^\circ$. В частности, $\angle CAD = 45^\circ$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобокой, её диагонали равны ($AC = BD$), а углы при основаниях также равны. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трём сторонам ($AB=DC$, $BD=AC$, $AD$ — общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BDA = \angle CAD$.

Так как мы уже установили, что $\angle CAD = 45^\circ$, то и $\angle BDA = 45^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Два угла этого треугольника нам известны: $\angle OAD = \angle CAD = 45^\circ$ и $\angle ODA = \angle BDA = 45^\circ$.Тогда третий угол $\angle AOD$, который является углом между диагоналями, равен:$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку угол пересечения диагоналей равен $90^\circ$, они перпендикулярны.

Ответ: что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

263. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).